Verifica 3 limiti con definizione

[Armstrong]

Buon pomeriggio, sto affrontando questi esercizi sulla verifica di un limite con definizione in questi 3 casi.
Riesco ad impostarli ma non a concluderli.

$lim_(x -> +oo) (3x+sinx)/(2x-cos) = 3/2$

Quindi
$AA epsilon>0,EE Min R$
tale che
$ |(3x+sinx)/(2x-cos)-3/2|
Cioè fissato con $epsilon $ un intorno di $3/2$ sull'asse delle y devo ricavare un intorno di $+oo$ sull'asse delle x,ossia un intervallo della forma$ (M,+oo)$

Svolgimento

$ |(3x+sinx)/(2x-cos)-3/2|
Ed ora non ho idea di come ricavare un intorno di $+00$


Gli altri due limiti sono
$lim_(x -> 0^+) e^(1/x)=+oo$
$lim_(x -> 0^-) e^(1/x)=0$

Ma per ora vorrei concentrarmi sul primo limite
Grazie a tutti in anticipo

[kobeilprofeta]

Il primo

da definizione: devo verificare che $AA \epsilon>0 EE M>0$ t.c. $x>M |f(x)-3/2|<\epsilon$

Voglio $|frac{3x+sin x}{2x-cos x}-3/2|<\epsilon$ ie $|frac{2 sin x+ 3 cos x}{2x-cos x}|<2*\epsilon$
Il numeratore in modulo è minore di 5
il den in modulo è maggiore o uguale di |2x-1|
Quindi ho $|frac{2 sin x+ 3 cos x}{2x-cos x}| Chiamando l'ultima quantità trovata M, concludo