Veridicità di una proposizione sui punti di accumulazione sinistri/destri

[eMCee]

Sia S un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali.
Sia p un numero reale.
Considero valide le seguenti definizioni:
1) p è un punto di accumulazione sinistro di S se e solo se per ogni numero reale δ maggiore di 0 esiste (almeno un) x appartenente a S tale che p 2) p è un punto di accumulazione destro di S se e solo se per ogni numero reale δ maggiore di 0 esiste (almeno un) x appartenente a S tale che p-δ
Sono vere le seguenti implicazioni logiche?

1) Se p è un punto di accumulazione sinistro di S allora esiste almeno un numero reale δ maggiore di 0 tale che l'insieme di ogni numero reale x tale che p 1) Se p è un punto di accumulazione sinistro di S allora esiste almeno un numero reale δ maggiore di 0 tale che l'insieme di ogni numero reale x tale che p-δ
Se sì: potreste per caso darmi una dimostrazione? (altrimenti un controesempio)
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione

[gugo82]

Tu che ne pensi?
Hai provato a ragionarci da solo?

[eMCee]

"gugo82":Tu che ne pensi?
Hai provato a ragionarci da solo?

Ho ben compreso le definizioni che ho dato, quindi intuitivamente so che le implicazioni sono vere ma non riesco a dimostrarle.
Supponiamo ad esempio che l'ipotesi della prima implicazione sia vera.
Per ogni numero reale δ maggiore di 0 esiste (almeno un) x appartenente a S tale che p Supponiamo per assurdo che la tesi della prima implicazione sia falsa
Si ha che per ogni numero reale δ maggiore di 0 esiste almeno un numero reale x tale che p Dove starebbe la contraddizione?

[eMCee]

Sará anche banale come cosa ma io non riesco a dimostrarle ne a trovare dei controesempi, qualcuno può almeno dirmi se le proposizioni sono vere o false?

[otta96]

Fai un esempio di punto di accumulazione sinistro.

[gugo82]

"eMCee":Sará anche banale come cosa ma io non riesco a dimostrarle ne a trovare dei controesempi, qualcuno può almeno dirmi se le proposizioni sono vere o false?

Se non riesci a trovare controesempi, forse, è perché non hai capito le definizioni o non hai ragionato bene sugli esempi che ti sono stati proposti/che puoi proporre.
Quindi seguirei il consiglio di otta96.

[eMCee]

Premettendo che...

"eMCee":
Considero valide le seguenti definizioni:
1) p è un punto di accumulazione sinistro di S se e solo se per ogni numero reale δ maggiore di 0 esiste (almeno un) x appartenente a S tale che p 2) p è un punto di accumulazione destro di S se e solo se per ogni numero reale δ maggiore di 0 esiste (almeno un) x appartenente a S tale che p-δ

"otta96":Fai un esempio di punto di accumulazione sinistro.

Sia S l'insieme tale che x appartiene a S se e solo x è un un numero reale tale che 0 p è un punto di accumulazione di S se e solo se p è un numero reale tale che 0≤p<1
Sia p un punto di accumulazione di S
Si ha 0<1-p , quindi p In questo caso la tesi è verificata per ogni punto di accumulazione di S

"gugo82":[quote="eMCee"]Sará anche banale come cosa ma io non riesco a dimostrarle ne a trovare dei controesempi, qualcuno può almeno dirmi se le proposizioni sono vere o false?

Se non riesci a trovare controesempi, forse, è perché non hai capito le definizioni o non hai ragionato bene sugli esempi che ti sono stati proposti/che puoi proporre.
Quindi seguirei il consiglio di otta86.[/quote]
Dall'esempio che ho dato precedentemente (e da quelli che mi sono proposto più e più volte prima di postare in questo forum) ho voluto cambiare approccio tentando di dare una dimostrazione costruttiva (ovvero di definire un δ che rispetti la tesi).
Quindi ho tentato di dimostrare tale implicazione logica:

Se sono rispettate tutte le seguenti condizioni:
1) p è un punto di accumulazione sinistro di S;
2) δ è un numero reale tale che 0<δ ;
3) Esiste (almeno) un numero reale x non appartenente a S tale che p allora sono rispettate tutte le seguenti condizioni:
1) Esite l'estremo inferiore (reale) "inf" dell'insieme di ogni numero reale x non appartenente a S tale che p 2) p 3) L'insieme di ogni numero reale tale che p
Provo a dare una parte di una dimostrazione:
Supponiamo che l'ipotesi sia vera
Si ha p Quindi p≤x per ogni numero reale x non appartenente a S tale che p Quindi p è un minorante dell'insieme di ogni numero reale x non appartenente a S tale che p Quindi l'insieme di ogni numero reale x non appartenente a S tale che p Quindi, per l'assioma di continuità, esite l'estremo inferiore (reale) "inf" dell'insieme di ogni numero reale x non appartenente a S tale che p Si ha inf≤x Quindi inf Quindi l'insieme di ogni numero reale x tale che p
Ora però devo dimostrare che p

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[otta96]

Conosci altri esempi? Diversi dal cambiare solo gli estremi dell'intervallo possibilmente.

[gugo82]

"otta96":Conosci altri esempi? Diversi dal cambiare solo gli estremi dell'intervallo possibilmente.

Appunto... È la banalità degli esempi proposti il problema: sono tutti uguali, e tutti ugualmente inutili.
Un po' come i formaggi francesi: sembrano differenti ma, gira e volta, è sempre lo stesso formaggio con nomi diversi.

[eMCee]

"otta96":Conosci altri esempi? Diversi dal cambiare solo gli estremi dell'intervallo possibilmente.

In realtà no, per adesso non ne ho trovati altri che non siano di questa "categoria".

[eMCee]

"gugo82":[quote="otta96"]Conosci altri esempi? Diversi dal cambiare solo gli estremi dell'intervallo possibilmente.

Appunto... È la banalità degli esempi proposti il problema: sono tutti uguali, e tutti ugualmente inutili.
Un po' come i formaggi francesi: sembrano differenti ma, gira e volta, è sempre lo stesso formaggio con nomi diversi. [/quote]
Avete un esempio che potrebbe illuminarmi?

[otta96]

"eMCee":In realtà no, per adesso non ne ho trovati altri che non siano di questa "categoria".

Ecco, questo è un problema, allora considera $A={1/n|n\inNN}$ e $B=QQ$. Sai capire quali sono i punti di accumulazione sinistri per questi due insiemi?

[gugo82]

@eMCee: Come si è risolta la faccenda?

[eMCee]

"gugo82":@eMCee: Come si è risolta la faccenda?

Ah si scusate, ho dovuto tenere in sospeso il mio dubbio per dare priorità ad altri argomenti di studio.
Comunque si: i controesempi che mi avete dato sono stati chiarificatori, vi ringrazio