Veridicità di una proposizione sui limiti di successioni

[Hopeful1]

Ciao a tutti!

Nel libro di analisi I che sto studiando è riportata la seguente proposizione:

se a[size=59]n[/size] e b[size=59]n[/size] sono due successioni che verificano a[size=59]n[/size]$ <= $b[size=59]n[/size] per ogni n e in più convergono ad uno stesso limite L, allora ogni successione x[size=59]n[/size] compresa tra a[size=59]n[/size] e b[size=59]n[/size] (cioè tale che per ogni n si abbia a[size=59]n[/size]$ <= $x[size=59]n[/size]$ <= $b[size=59]n[/size]) converge al medesimo limite L.
La dimostrazione è una semplice applicazione della definizione di limite: preso comunque un $ del $>0, esistono due interi N[size=59]a[/size] e N[size=59]b[/size] per cui n>N[size=59]a[/size] implica L-$ del $N[size=59]b[/size] implica L-$ del $Quindi, se n maggiore sia di N[size=59]a[/size] che di N[size=59]b[/size] avremo L-$ del $
Ma io al posto della parte evidenziata in rosso avrei detto:

"Quindi, se n è sia maggiore di N[size=59]a[/size] che minore di N[size=59]b[/size]..."

Ha sbagliato il libro o non ho capito io cosa vuole dire? In fondo mi sembra che questa proposizione sia il teorema dei carabinieri applicato ai limiti di successione, no?

Grazie ciao

[gugo82]

Scusa, ma se [tex]$n
Invece, se [tex]$n>\max \{ N_a,N_b\}$[/tex] (ossia [tex]$n>N_a$[/tex] e [tex]$>N_b$[/tex]), allora sono vere entrambe le relazioni [tex]$L-\delta

Cita

Segnala

[Hopeful1]

mmm sì, però non capisco, se $ n>max{N[size=75]a[/size], N[size=75]b[/size]} la successione x[size=75]n[/size] non verrebbe a trovarsi sempre sopra alle successioni a[size=75]n[/size] e b[size=75]n[/size]?

[gugo82]

Non capisco la tua domanda.

Per ipotesi sai che, per ogni indice [tex]$n$[/tex], risulta [tex]$a_n\leq x_n \leq b_n$[/tex], quindi queste relazioni sono vere per [tex]$n>\nu$[/tex] con [tex]$\nu$[/tex] arbitrario; in particolare puoi fissare [tex]$\nu =\max \{ N_a,N_b\}$[/tex] ed avere sempre [tex]$a_n\leq x_n \leq b_n$[/tex] per [tex]$n>\nu$[/tex].

Ad esempio, prendi [tex]$a_n:=-\tfrac{2}{n}$[/tex], [tex]$b_n:=\tfrac{2}{n}$[/tex] ed [tex]$x_n:=\tfrac{(-1)^n}{n}$[/tex].

[Hopeful1]

forse ho capito che errore commetto nel ragionamento, non prendo a[size=75]n[/size] $ <= $ x[size=75]n[/size] $ <= $ b[size=75]n[/size] come ipotesi iniziale cioè pensavo si dovesse dimostrare anche ciò invece prendendola come ipotesi all'inizio se $ n>max{N[size=75]a[/size], N[size=75]b[/size]} i valori della successione x[size=75]n[/size] vengono a tovarsi per forza tutti all'interno dell'intorno (L+$ del $, L-$ del $) e x[size=75]n[/size] viene "trasportata" da a[size=75]n[/size] e b[size=75]n[/size] verso il valore limite L. Torna questo ragionamento gugo82?

Sì, credo di aver capito grazie gugo82

[gugo82]

Certo che quella è un'ipotesi!

D'altra parte, basta leggere bene l'enunciato per rendersene conto:

"Hopeful":se a[size=59]n[/size] e b[size=59]n[/size] sono due successioni che verificano a[size=59]n[/size]$ <= $b[size=59]n[/size] per ogni n e in più convergono ad uno stesso limite L, allora ogni successione x[size=59]n[/size] compresa tra a[size=59]n[/size] e b[size=59]n[/size] (cioè tale che per ogni n si abbia a[size=59]n[/size]$ <= $x[size=59]n[/size]$ <= $b[size=59]n[/size]) converge al medesimo limite L.

Inoltre, sì, il senso della dimostrazione è proprio quello che hai detto.