Velocità di un infinito!?!

[faster5891]

Salve a tutti!potreste chiarirmi un dubbio!? All'interno di una funzione del tipo 1+x^a dove a<0 per x che tende a +inf può essere considearto 1 come l'infinito più veloce o ciò è sbagliato?!il tutto mi serve per risolvere un integarle generalizzato...in attesa di una vostra risposta vi ringrazio...

[Camillo]

Penso tu voglia dire 1+x)^a , con a < 0 , quindi è come dire :
1/(1+x)^(-a) con quindi : -a positivo .
Se devi integrare con limite superiore +infinito , bisogna che la funzione sia infinitesima per x che tende a + infinito , ma non basta , bisogna che sia un infinitesimo di ordine maggiore di 1 e quindi a deve essere < -1.

Camillo

[faster5891]

No avevo scritto bene l'integrale è 1+x^a mentre al denominatore c'è solo x^a...il mio problema è questo:nel risolvere il limite per x--> +inf con a < 0 al nominatore non sò se prendere come infinito più veloce 1...nella soluzione del quesito sul mio libro sembra che faccia così solo che non ne sono pienamente convinto...

[faster5891]

| + inf
|
| x^2 arctan(x^-a)
| ______________________ dx
|
| x^(6a) + x^(3a^2)
|
0
Ragazzi sapreste dirmi perch¨¨ nella risoluzione di questo integarle generalizzato per x-->0 il libro mi dice che in nominatore v¨¤ come x^2 e non come x^(2-a)???
chiaramente ho trattando i due casi in cui 6a>3a^2 e quindi 0

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[Sk_Anonymous]

Se a<0 allora x^a tende a 0, quindi 1+x^a tende a 1. 1 non e' un infinito, non tende all'infinito... E' una quantita' limitata, quindi "non conta nulla" ai fini dello studio della convergenza dell'integrale.

Quanto al secondo esercizio postato, se a<0 allora il termine arctan tende a pi/2; ne segue che il numeratore si comporta come x^2.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[leev]

Domadna riguardo al secondo esercizio:
ma nel caso il grado del numeratore è sempre maggiore rispetto al denominatore, l'integrale dà infinito?!?
e se è minore?? (il pi/2 torna in gioco?)



L.L

[faster5891]

Innanzi tutto ti ringrazio per la tua risposta...comunque non ho capito cosa intendi per pi/2?!saresti cosi' gentile da chiarirmi cosa intendi?inoltre in un itegrale in cui ho al denominatore (x+1)^(2a+1)x^(a-1) per x-->0 il libro mi dice che va' come x^(a-1) qundi stando a quello che mi e' parso di capire dal tuo ragionamento e' come se lo vedesse come (0+1)^(2a+1)x^(a-1)esatto?!

[Sk_Anonymous]

pi/2 e' pigreco fratto due.

Quanto all'altra domanda, si', lo vede proprio cosi'.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[vassily1]

approfitto dell'oggetto del messaggio per fare una domanda.
fra a^x e e^x chi va più velocemente all'infinito?
qualcuno potrebbe ordinarmi in ordine crescente i seguenti infinitesimi: log(f(x)) e^(f(x)) a^(f(x)) x^a
grazie

[faster5891]

Ammetto di avere le idee un po' confuse...quando mi sembra di aver capito perfettamente mi spunta sempre fuori qualche nuovo dubbio...per questo mi chiedo se (x+1)^(2a+1)x^(a-1) per x-->0 viene vista come (0+1)^(2a+1)x^(a-1) perche' a questo punto non può essere vista anche l'altra x come uno zero e quindi (0+1)^(2a+1)0^(a-1)?!

[leev]

faster5891:
io nn son al massimo della chiarezza, cmq penso che (x+1)^(2a+1) lo puoi considerare come tendente a 1, dunque 'te ne puoi fregare' (visto ke qualsiasi cosa per uno dà quella cosa);
mentre x^(a-1) ti tende a 0 o a + infinito (a dipendenza di a) e devi quindi forzatamente compararlo al numeratore.

L.L

[leev]

per quanto riguarda la prima domanda di vassily, per guardare la velocità di a^x e e^x si puo considerare ke a^x è definito come e^(x*ln a)
Quindi
lim e^x/a^x
=lim e^x/(e^(x*ln a)
=lim e^(x(1-ln a))

Dunque per ln a > 1 , a^x va più veloce all'infinito
per 0 < ln a < 1 (cioè per a tra 1 ed e), e^x va piu veloce all'infinito
mentre per ln a < 0 (cioè per a tra 0 ed 1), e^x va all'infinito (a^x va a 0)

L.L