Velocità di tendenza con variabile
ciao ragazzi , svolgendo un' limite avente come variabile \alpha , si arriva alla seguente situazione:
\( \lim_{x\rightarrow 0^+} \) $1/(1-\alpha) - (x^(1-\alpha))/(1-\alpha)$
A questo punto la soluzione mi dice che :
- Se $0< \alpha <1$ il risultato è $1/(1-\alpha)$, in quanto il termine con la $x$ tende a $0$ più velocemente del primo termine , e quindi può essere trascurato;
-se $\alpha>1$ , allora il risultato è \( +\infty \) , per il discorso inverso , e di conseguenza il termine con la x non può essere trascurato.
Qualcuno può spiegarmi questa cosa del poter trascurare o meno il termine e la differenza che fa l'esponente della x per rendere appunto trascurabile o meno il termine con la x?
\( \lim_{x\rightarrow 0^+} \) $1/(1-\alpha) - (x^(1-\alpha))/(1-\alpha)$
A questo punto la soluzione mi dice che :
- Se $0< \alpha <1$ il risultato è $1/(1-\alpha)$, in quanto il termine con la $x$ tende a $0$ più velocemente del primo termine , e quindi può essere trascurato;
-se $\alpha>1$ , allora il risultato è \( +\infty \) , per il discorso inverso , e di conseguenza il termine con la x non può essere trascurato.
Qualcuno può spiegarmi questa cosa del poter trascurare o meno il termine e la differenza che fa l'esponente della x per rendere appunto trascurabile o meno il termine con la x?
Risposte
Ciao Biagio2580,
Intanto comincerei con l'osservare che la prima parte del limite non dipende da $x$, per cui si ha:
$\lim_{x \to 0^+} (1/(1-\alpha) - (x^(1-\alpha))/(1-\alpha)) = 1/(1 - \alpha) - \lim_{x \to 0^+} (x^(1-\alpha))/(1-\alpha) $
I casi sono i seguenti:
i) se $0 \le \alpha < 1 $ il denominatore è positivo e la $x$ è elevata ad un esponente positivo, sicché il risultato del limite è $0$;
ii) se $ \alpha > 1 $ il denominatore è negativo e la $x \to 0^+$ è elevata ad un esponente negativo, sicché, dato il segno meno davanti al limite il risultato è $+\infty $, che poi ci si tolga il termine negativo $1/(1 - \alpha) $ è irrilevante, il risultato rimane $+\infty $
Intanto comincerei con l'osservare che la prima parte del limite non dipende da $x$, per cui si ha:
$\lim_{x \to 0^+} (1/(1-\alpha) - (x^(1-\alpha))/(1-\alpha)) = 1/(1 - \alpha) - \lim_{x \to 0^+} (x^(1-\alpha))/(1-\alpha) $
I casi sono i seguenti:
i) se $0 \le \alpha < 1 $ il denominatore è positivo e la $x$ è elevata ad un esponente positivo, sicché il risultato del limite è $0$;
ii) se $ \alpha > 1 $ il denominatore è negativo e la $x \to 0^+$ è elevata ad un esponente negativo, sicché, dato il segno meno davanti al limite il risultato è $+\infty $, che poi ci si tolga il termine negativo $1/(1 - \alpha) $ è irrilevante, il risultato rimane $+\infty $
Il primo caso mi è ovviamente chiaro . Nel secondo non capisco ancora una cosa , il fatto che il risultato sia \( \infty \) , è dovuto dal fatto che 0 è elevato ad un numero negativo ?
Inoltre volevo capire un'attimo quel discorso del tendere più velocemente o lentamente , grazie pilloeffe.
Inoltre volevo capire un'attimo quel discorso del tendere più velocemente o lentamente , grazie pilloeffe.
"Biagio2580":
il fatto che il risultato sia $\infty $, è dovuto al fatto che 0 è elevato ad un numero negativo ?
Beh sì. Con un po' di abuso di notazione (non lo scrivere all'esame...
) è qualcosa del tipo $(0^+)^{- 1} = 1/0^+ = + \infty $"Biagio2580":
Inoltre volevo capire un'attimo quel discorso del tendere più velocemente o lentamente
Mah, quel discorso l'ho volutamente ignorato, perché non si tratta di un confronto tra infinitesimi...
"Biagio2580":
[...] in quanto il termine con la $x$ tende a $0$ più velocemente del primo termine
Molto semplicemente, il primo termine è costante e non tende a nulla, non dipende dalla $x$: quindi il secondo termine con la $x$ è l'unico che risulta $0$ per $x \to 0^+ $ con $0 \le \alpha < 1 $;
per $\alpha > 1 $ il primo termine rimane costante, ma negativo, al quale poi si aggiunge il termine che risulta $+\infty $ per $x \to 0^+ $, quindi complessivamente il risultato è $+\infty $ (sarebbe qualcosa del tipo $ - 1/3 +\infty = +\infty $)
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