Velocità decadimento trasformata funzione $f in C^oo$

[bradipo90]

Ciao a tutti mi chiedevo, se $f in C^oo$ a supporto compatto con $"sup"_([a,b]) f0 $ più velocemente di ogni polinomio?

[dissonance]

Se $f$ è continua e a supporto compatto è automatico che $"sup"f
Venendo al dunque, la risposta alla tua domanda è sì: più precisamente puoi dire che la trasformata di Fourier di $f$ è di classe Schwartz (cerca "Schwartz space" per ulteriori informazioni).

[bradipo90]

Ah scusami i miei soliti errori stupidi di scrittura volevo scrivere a simboli il supporto è un chiuso ed è minore di infinito, ho leggendo mi era venuta questa informazione che la trasformata appartiene proprio alla classe di Schwarz, domani con più calma voglio scoprirne la dimostrazione e poi la scrivo:) ciao

[gugo82]

Scusa, bradipo90, ma il supporto è un insieme; quindi come fa ad "essere minore di infinito"?

[bradipo90]

Allora ora mi è chiaro queste funzioni particolari $ C^ooc $ (spero che si scrivano così allora ) sono incluse nella classe di Schwarz, perchè ogni derivata di una $f$ è continua e ha supporto nel supporto di $f$, per cui $||x^aD^bf||$ ammette un massimo in $RR^n$. Poichè la trasformata di fourier in $S$ è un endomorfismo di questo spazio, quindi la trasformata di una $ C^ooc $ è un infinitesimo di ordine maggiore di ogni polinomio.
Stavo pensando poi di fare un pò di chiarezza nelle inclusioni:
per adesso so che $ C^ooc (RR^n)sub S(RR^n) sub L^p(RR^n) $ e $S sub C_oo(RR^n)$ ( funzioni continue che esauriscono all'infinito)