Vediamo chi lo risolve nel modo più furbo?

[Lo_zio_Tom]

molto spesso, soprattutto per chi non è più studente, per la risoluzione di un integrale non è tanto importante la soluzione finale quanto invece il procedimento adottato per arrivarci....almeno così la penso io.....

voi come lo fareste questo?(Sono vietate le formule parametriche)


$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx $

[kobeilprofeta]

$t=tan x$

[Lo_zio_Tom]

questa è la mia proposta:

$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx =int_()^() (1-cos^2x)/(1+cos^2x) dx=int_()^() (2/(1+cos^2x)-1)dx = $

$ =2int_()^() 1/(1+cos^2x)dx-x=2int_()^() 1/cos^2x/(1+1/cos^2x)dx-x= $

$ =2int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx-x=2int_()^() 1/(2+tan^2x)dtanx-x= $


$ =sqrt(2)int_()^() 1/(1+(tanx/sqrt(2))^2)d(tanx/sqrt(2))-x=sqrt(2)arctan(tanx/sqrt(2))-x+C $

[Lo_zio_Tom]

"kobeilprofeta":$t=tan x$

intendi così?

$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx =int_()^() tan^2x/(2+tan^2x) dx =int_()^() t^2/((t^2+2)(t^2+1))dt $

non è macchinoso poi

[zerbo1000]

"tommik":questa è la mia proposta:

$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx =int_()^() (1-cos^2x)/(1+cos^2x) dx=int_()^() (2/(1+cos^2x)-1)dx = $

$ =2int_()^() 1/(1+cos^2x)dx-x=2int_()^() 1/cos^2x/(1+1/cos^2x)dx-x= $

$ =2int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx-x=2int_()^() 1/(2+tan^2x)dtanx-x= $


$ =sqrt(2)int_()^() 1/(1+(tanx/sqrt(2))^2)d(tanx/sqrt(2))-x=sqrt(2)arctan(tanx/sqrt(2))-x+C $

non capisco come si usa questo modo di sostituire, cambiando il $d$

esempio:

se ho $int sen^2x=int senxd(-cosx)$ come lo posso risolvere usando il tuo metodo?

[zerbo1000]

aspetta, è solo una sostituzione però al posto di ad esempio $f(x)=t$ scrivi $f(x)=g(x)$

fa una sostituzione dove invece che fare una funzione uguale a $t$ o $x$ o $u$ o $w$ sostituisci con una funzione ad un altra funzione?

[zerbo1000]

però se ci penso meglio non può essere cosi , perche allora qui avresti dovuto sostituire anche il termine che ho colorato $ =2int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx-x=2int_()^() 1/(2+color{red}{tan^2x})dtanx-x= $
e invece è rimasto uguale, perche se sostituisci devi sostiture tutto

[andar9896]

E invece ha fatto proprio quest'ultima cosa che dici poiché
$1/cos^2x dx = d(tanx)$

[zerbo1000]

"andar9896":E invece ha fatto proprio quest'ultima cosa che dici poiché
$1/cos^2x dx = d(tanx)$

ma $d(tanx)$ non è come scrivere $(tanx)' $ che è uguale a $1/cos^2x$ e basta

[donald_zeka]

ma d(tanx) non è come scrivere (tanx)' che è uguale a 1cos2x e basta

$df(x)=f'(x)dx$

[zerbo1000]

$(df(x))/dx=f(x)'$

allora il dx non ha solo un valore notazionale

[Lo_zio_Tom]

eh no......

[Lo_zio_Tom]

"zerbo1000":$ =int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx$

se però non riesci a capire i passaggi puoi fare così:

sostituisci come sai fare $t=tanx$....e vedi che arrivi allo stesso risultato

[zerbo1000]

eh ma il tuo metodo è più stiloso
e mi sembra pure più comodo una volta imparato

[Lo_zio_Tom]

però sarebbe opportuno che incominciassi a trattare meglio i differenziali.....se ci riesco io che sono laureato in Economia.....

[zerbo1000]

1° domanda: cosa intendi?

2°domanda: se volessi risolvere con il quel metodo $intsen^2xdx=intsenxd(-cosx)$ al di la del fatto che si potrebbe risolvere con altri metodi, come potrei fare?

[Lo_zio_Tom]

intendo che se ci riesco io che mi sono laureato 25 anni fa in economia ci possono riuscire tutti....a maggior ragione voi che state studiando.....io intanto lavoro....e faccio queste cose nei ritagli di tempo...(d'inverno perché d'estate corro con la motocicletta)

[Lo_zio_Tom]

risolvere $intsen^2xdx$ in quel modo diventa antieconomico....quello lo si fa con le formule di bisezione

[Lo_zio_Tom]

in quel modo semplicemente significa farlo per parti

$intsen^2xdx=-intsenxd(cosx)=-[senxcosx-intcosxd(senx)]=-senxcosx+intcos^2xdx$

$intsen^2xdx=-senxcosx+int(1-sen^2x)dx=-senxcosx+x-intsen^2xdx$

$intsen^2xdx=(x-senxcosx)/2+c$

[donald_zeka]

In verità si, il $dx$ di un integrale teoricamente può anche essere omesso, ma risulta molto utile nel risolvere integrali con sostituzioni o altri metodi.

[donald_zeka]

Si tratta solo di notazione, notazione molto comoda ma sempre notazione.