Vedere se una funzione è differenziabile
Ciao a tutti,
ho un problema con questo tipo di esercizi.
Come faccio a vedere se una funzione, ad esempio $ f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2) $ se è differenziabile in $(0,0)$?
I passi da fare quali sono, verificare che le derivate parziali in quel punto, $(0,0)$ in questo caso, sono uguali e poi vedere se il limite $ lim_{(h,k)->(0,0)} (f(x+h,y+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2)) $ è nullo, cioè viene $0$??
ho un problema con questo tipo di esercizi.
Come faccio a vedere se una funzione, ad esempio $ f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2) $ se è differenziabile in $(0,0)$?
I passi da fare quali sono, verificare che le derivate parziali in quel punto, $(0,0)$ in questo caso, sono uguali e poi vedere se il limite $ lim_{(h,k)->(0,0)} (f(x+h,y+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2)) $ è nullo, cioè viene $0$??
Risposte
per vedere che $ f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2) $ non è continua in $ (0,0) $
ti posso dire di più quel limite non esiste..
prendo la direzione $ y=mx $ (tutte le rette passanti per l'origine)
$ f(x,mx)=(mx^2)/(x^2+m^2x^2)=(m)/(1+m^2) $ per $x\to 0$
il limite dipende dal parametro $m$ per cui in generale il limite non esiste..
per cui se non esiste..tantomeno è continua la funzione nell'origine.. ok concludo che non è differenziabile..
ti posso dire di più quel limite non esiste..
prendo la direzione $ y=mx $ (tutte le rette passanti per l'origine)
$ f(x,mx)=(mx^2)/(x^2+m^2x^2)=(m)/(1+m^2) $ per $x\to 0$
il limite dipende dal parametro $m$ per cui in generale il limite non esiste..
per cui se non esiste..tantomeno è continua la funzione nell'origine.. ok concludo che non è differenziabile..
grazie mille 21zuclo.
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