Variazione della probabilità
Ciao, un esercizio che ancora faccio difficoltà a capire bene è questo:
Sia $F(x)=\int (4dt/(4t^2+t+4))$ integrale da $cosx a senx$ (scusate non so scriverlo)
Trovare $F'(-\Pi/2)$
Dunque, il mio ragionamento base parte dal presupposto che dato che cerchiamo una primitiva di $f(x)=(4dt/(4t^2+t+4))$ tale che sia $F(x)$, la derivata $F'(x)$ sarà esattamente $4dt/(4t^2+t+4)$.
Però il problema nasce dal fatto che è un integrale definito e devo calcolarlo da $cosx a senx$ che sono 2 funzioni...dunque, quello che vorrei capire bene è innanzitutto cosa stiamo integrando; io direi che per quanto riguarda gli estremi di integrazione stiam integrando da dei valori in funzione di $x$ che si troveranno sull'asse delle ascisse e quello che integriamo (che ho chiamato $f(x)$) è in funzione di t.
Comunque, a noi il professore ci ha dato una formula per questo tipo di esercizi, ma, non ho capito bene la teoria che c'è sotto....cioè, lui dice che $F'(x)=-f(cosx)senx-f(senx)cosx$ e allora dovrebbe essere che
$F'(-\Pi/2)=-(4senx/(4cos^(2)x +cosx +4)) -(4cosx/(4sen^(2)x+senx+4))$ e dopo aver sostituito mi viene uguale a $1$ che è una soluzione e penso sia corretta...ma il problema è prorio a livello teorico
...cioè riuscirei a rifarli meccanicamente adesso sti esercizi ma se mi date un spunto sulla teoria che c'è dietro...grazie
Sia $F(x)=\int (4dt/(4t^2+t+4))$ integrale da $cosx a senx$ (scusate non so scriverlo)
Trovare $F'(-\Pi/2)$
Dunque, il mio ragionamento base parte dal presupposto che dato che cerchiamo una primitiva di $f(x)=(4dt/(4t^2+t+4))$ tale che sia $F(x)$, la derivata $F'(x)$ sarà esattamente $4dt/(4t^2+t+4)$.
Però il problema nasce dal fatto che è un integrale definito e devo calcolarlo da $cosx a senx$ che sono 2 funzioni...dunque, quello che vorrei capire bene è innanzitutto cosa stiamo integrando; io direi che per quanto riguarda gli estremi di integrazione stiam integrando da dei valori in funzione di $x$ che si troveranno sull'asse delle ascisse e quello che integriamo (che ho chiamato $f(x)$) è in funzione di t.
Comunque, a noi il professore ci ha dato una formula per questo tipo di esercizi, ma, non ho capito bene la teoria che c'è sotto....cioè, lui dice che $F'(x)=-f(cosx)senx-f(senx)cosx$ e allora dovrebbe essere che
$F'(-\Pi/2)=-(4senx/(4cos^(2)x +cosx +4)) -(4cosx/(4sen^(2)x+senx+4))$ e dopo aver sostituito mi viene uguale a $1$ che è una soluzione e penso sia corretta...ma il problema è prorio a livello teorico
...cioè riuscirei a rifarli meccanicamente adesso sti esercizi ma se mi date un spunto sulla teoria che c'è dietro...grazie
Risposte
La formula è molto semplice e si dimostra usando il Teorema di Torricelli-Barrow e la formula di derivazione delle funzioni composte. Abbiamo in generale
$$F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\ dt$$
Supponiamo che $H(x)$ sia una primitiva di $f$, cioè che $H'(x)=f(x)$: allora la formula di T-B implica che
$$F(x)=H(\beta(x))-H(\alpha(x))$$
Se ora deriviamo si ha
$$F'(x)=\beta'(x)\cdot H'(\beta(x))-\alpha'(x)\cdot H'(\alpha(x))=\beta'(x)\cdot f(\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(\alpha(x))$$
Da cui il risultato. Spero sia chiaro.
$$F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\ dt$$
Supponiamo che $H(x)$ sia una primitiva di $f$, cioè che $H'(x)=f(x)$: allora la formula di T-B implica che
$$F(x)=H(\beta(x))-H(\alpha(x))$$
Se ora deriviamo si ha
$$F'(x)=\beta'(x)\cdot H'(\beta(x))-\alpha'(x)\cdot H'(\alpha(x))=\beta'(x)\cdot f(\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(\alpha(x))$$
Da cui il risultato. Spero sia chiaro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo