Variazione costanti
Ciao, amici!
Per calcolare la soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea, diciamo del tipo $ay''(t)+by'(t)+cx=f(t)$, ho trovato sul mio testo di analisi che, una volta trovata la famiglia di soluzioni dell'omogenea, che sono del tipo $C_1u(t)+C_2u(t)$ con coefficienti costanti, si cercano due funzioni $C_1(t)$ e $C_2(t)$ tali che
$C_1'(t)u_1(t)+C_2'(t)u_2(t)=0$
Calcolando le derivate nell'espressione $a d^2/(dt^2) (C_1u(t)+C_2u(t))+b d/(dt) (C_1u(t)+C_2u(t))+c(C_1u(t)+C_2u(t))=f(t)$, tenendo conto che si impone che $C_1'(t)u_1(t)+C_2'(t)u_2(t)=0$, direi che bisogna anche imporre che
$a(C_1'(t)u_1'(t)+C_2'(t)u_2'(t))=f(t)$.
Cosa ne pensate?
Svolgendo esercizi non mi è capitato di falsificare questa conclusione...
Grazie di cuore!!!
Per calcolare la soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea, diciamo del tipo $ay''(t)+by'(t)+cx=f(t)$, ho trovato sul mio testo di analisi che, una volta trovata la famiglia di soluzioni dell'omogenea, che sono del tipo $C_1u(t)+C_2u(t)$ con coefficienti costanti, si cercano due funzioni $C_1(t)$ e $C_2(t)$ tali che
$C_1'(t)u_1(t)+C_2'(t)u_2(t)=0$
Calcolando le derivate nell'espressione $a d^2/(dt^2) (C_1u(t)+C_2u(t))+b d/(dt) (C_1u(t)+C_2u(t))+c(C_1u(t)+C_2u(t))=f(t)$, tenendo conto che si impone che $C_1'(t)u_1(t)+C_2'(t)u_2(t)=0$, direi che bisogna anche imporre che
$a(C_1'(t)u_1'(t)+C_2'(t)u_2'(t))=f(t)$.
Cosa ne pensate?
Svolgendo esercizi non mi è capitato di falsificare questa conclusione...
Grazie di cuore!!!
Risposte
Ma infatti mi pare che sia proprio quello il sistema che devi imbastire: in notazione matriciale
\[\begin{bmatrix} u_1(t) & u_2(t) \\ u_1'(t) & u_2'(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1'(t) \\ C_2'(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ f(t) \end{bmatrix}, \]
quindi il determinante della matrice dei coefficienti è il Wronskiano \(W\) di \(u_1, u_2\), che non si annulla mai, per cui puoi risolvere con la regola di Cramer:
\[C_1'(t)=\frac{-u_2(t)f(t)}{W(t)}, C_2'(t)=\frac{u_1(t)f(t)}{W(t)}. \]
Integrando di punto iniziale \(t_0\) e inserendo il tutto nell'espressione di \(u(t)\) ottieni
\[u(t)= \int_{t_0}^t \frac{u_1(\tau)u_2(t)-u_1(t)u_2(\tau)}{W(\tau)}f(\tau)\, d\tau. \]
Questa è una soluzione dell'equazione non omogenea. Una curiosità: avendo integrato di punto iniziale \(t_0\), abbiamo ottenuto la soluzione del problema di Cauchy con dati nulli in \(t_0\):
\[\begin{cases} ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t) \\ y'(t_0)=0 \\ y(t_0)=0 \end{cases}.\]
\[\begin{bmatrix} u_1(t) & u_2(t) \\ u_1'(t) & u_2'(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1'(t) \\ C_2'(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ f(t) \end{bmatrix}, \]
quindi il determinante della matrice dei coefficienti è il Wronskiano \(W\) di \(u_1, u_2\), che non si annulla mai, per cui puoi risolvere con la regola di Cramer:
\[C_1'(t)=\frac{-u_2(t)f(t)}{W(t)}, C_2'(t)=\frac{u_1(t)f(t)}{W(t)}. \]
Integrando di punto iniziale \(t_0\) e inserendo il tutto nell'espressione di \(u(t)\) ottieni
\[u(t)= \int_{t_0}^t \frac{u_1(\tau)u_2(t)-u_1(t)u_2(\tau)}{W(\tau)}f(\tau)\, d\tau. \]
Questa è una soluzione dell'equazione non omogenea. Una curiosità: avendo integrato di punto iniziale \(t_0\), abbiamo ottenuto la soluzione del problema di Cauchy con dati nulli in \(t_0\):
\[\begin{cases} ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t) \\ y'(t_0)=0 \\ y(t_0)=0 \end{cases}.\]
$int_{0}^{+oo} "d"("grazie")$ Dissonance!!! 
Prego. E' un piacere discutere con te.
Uuh aspetta aspetta. Ho paura che il mio post precedente funzioni solo se \(a=1\). Altrimenti occorre normalizzare qualcosa nel sistema, forse sostituire \(f(t)\) nel termine noto con \(f(t) /a\)?
Ho corretto il mio posto originale: avevo pensato proprio al caso $a=1$, come mi è capitato di trovare negli ultimi esercizi in cui ho utilizzato questo tipo di sistema, caso cui si può ricondurre ogni equazione del secondo ordine dividendo i due membri per $a != 0$ (che se non fosse nulla, l'equazione non sarebbe del secondo ordine)...
Grazie ancora!!!
Grazie ancora!!!
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