Variante del teor. dello jacobiano (di invertibilità locale)

[qwertyuio1]

Sia $h\inC^k(U,RR^n)$ con $U$ aperto di $RR^m$, $0\leq m\leq n$, $k\geq 1$.
Sia $u_0\in U$, $rank(J_h(u_0))=m$ (dove $J_h$ indica la matrice jacobiana di $h$).
Posso affermare che $h$ è un omeomorfismo locale in $u_0$? Cioè che $\exists V$ aperto di $U$, $u_0\in V$ e $\exists S\subset RR^n$ tali che $h:V->S$ è un omeomorfismo?

(Se $m=n$ il teorema di invertibilità locale mi garantisce che $h$ è un $C^k$-diffeomorfismo locale in $u_0$.
Se invece $m

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Risposte

dissonance

5 apr 2010, 22:06

Avevo istintivamente risposto "no" ma poi mi sono accorto che non richiedi $S$ aperto in $RR^n$. Allora la risposta è probabilmente si, ma devi aggiungere l'ipotesi che il rango di $h$ si mantenga costante in un intorno di $u_0$. In questo caso hai a disposizione il Teorema di rango costante che ti fornisce informazioni dettagliate sul comportamento locale di $h$ e ti permette di concludere. Conosci questo teorema? Se no posso fornirti dei riferimenti biblografici.

Senza questa ipotesi aggiuntiva la proposizione potrebbe essere falsa. In linea di massima il rango del differenziale in un punto isolato non fornisce informazioni significative. Ad esempio prendi $h(x, y)=x^2+y^2$, una mappa di $RR^2$ in $RR$: in $(0,0)$ essa ha rango zero ("rango in un punto"="rango del differenziale nel punto") ma direi che non verifica la tua tesi. Controlla bene però perché io non l'ho fatto.

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qwertyuio1

6 apr 2010, 08:40

Infatti non chiedo $S$ aperto, perché moralmente lo penso come una sottovarietà. Non conosco il teorema del rango costante.
Riguardo al tuo controesempio, $h$ ha rango 0 in $(0,0)$ ma io chiedevo che avesse rango 1 (uguale alla dimensione dello spazio d'arrivo).
In generale, se $A(x)$ matrice $m*n$ ,$m<=n$, definita per $x\in U$ aperto e ivi continua, e so che il rango di $A(x_0)$ è massimo (=$m$), non posso affermare che il rango di $A(x)$ è costante intorno a $x_0$?
Infatti se $rank(A(x_0))=m$ ci sarà una sottomatrice $m*m$ $D(x_0)$ con $det(D(x_0))!=0$. Ma allora, per la continuità del determinante e degli elementi di $A$ (e quindi di $D$), si ha $det(D(x))!=0$ intorno a $x_0$. Perciò $rank(A(x))=m$ intorno a $x_0$.

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dissonance

6 apr 2010, 09:38

Ti chiedo scusa, non mi ero accorto che $m$ fosse uguale alla dimensione dello spazio in arrivo. In questo caso il discorso sul rango che hai fatto è perfettamente corretto e anzi si tratta di un ragionamento che si usa spesso in geometria differenziale.

Il teorema di rango costante a cui facevo riferimento è una conseguenza del teorema della funzione inversa che permette di portare localmente in forma canonica le applicazioni differenziabili, in maniera simile alla diagonalizzazione delle matrici, o alla forma canonica di Jordan e teoremi simili; cito dal libro di John Lee Introduction to smooth manifolds:

"Theorem 5.13 (Rank Theorem)":Suppose M and N are smooth manifolds of dimensions m and n respectively, and $F:M \to N$ is a smooth map with constant rank $k$. For each $p\inM$ there exist coordinates $(x^1, ..., x^m)$ centered at $p$ and $(v^1, ldots, v^n)$ centered at $F(p)$ in which $F$ has the following coordinate representation:

$f(x^1, ..., x^m)=(x^1, ..., x^k, 0, ..., 0)$ .

(per ulteriori informazioni e una dimostrazione puoi consultare le dispense di Luca Lussardi, §1.6 pag.16).

Grazie alla tua argomentazione del post precedente, questo teorema è sempre applicabile alla funzione $h$, che quindi potremo rappresentare in un intorno di $u_0$ come

$h(x^1...x^m)=(x^1...x^n)$, dove $u_0 -=(0, ..., 0)$. (*)

Quindi per dimostrare o confutare la tua congettura possiamo limitarci a questa applicazione particolarmente semplice. Io però credo che la congettura sia falsa. Infatti questa $h$ non è ingettiva se $m>n$, e quindi nemmeno invertibile.

_________________________
Sto usando le notazioni del libro di Lee, il quale usa lo stesso simbolo per l'applicazione $h$ e per le sue rappresentazioni in coordinate; a rigore dovrei scrivere: "introdotte carte locali $(V, phi)$ in $u_0$ e $(V', phi')$ in $h(u_0)$ e detta $\bar{h}=phi' \circ h \circ phi^{-1}$, risulta che $\bar{h}$ è uguale a ...".

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Alexp1

6 apr 2010, 10:04

Anche secondo me quanto dice "dissonance" è corretto, se hai un'applicazione $h:RR^n->RR^m$ con $mn$. Ciao

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qwertyuio1

6 apr 2010, 13:36

Grazie, ora proverò a darci un occhio, comunque per me $h:RR^m->RR^n$ con $0<=m<=n$.

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dissonance

6 apr 2010, 14:05

Ho fatto un minestrone di $m$ ed $n$. Comunque il teorema di rango costante è quello e non ci piove. Sono sicuro che è la giusta conseguenza del teorema dello jacobiano che ti serve.

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Alexp1

6 apr 2010, 14:27

Riprendendo la tua domanda iniziale, ossia:

"qwertyuio":
Sia $h\inC^k(U,RR^n)$ con $U$ aperto di $RR^m$, $0\leq m\leq n$, $k\geq 1$.
Sia $u_0\in U$, $rank(J_h(u_0))=m$ (dove $J_h$ indica la matrice jacobiana di $h$).
Posso affermare che $h$ è un omeomorfismo locale in $u_0$?

Si

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[dissonance]

Avevo istintivamente risposto "no" ma poi mi sono accorto che non richiedi $S$ aperto in $RR^n$. Allora la risposta è probabilmente si, ma devi aggiungere l'ipotesi che il rango di $h$ si mantenga costante in un intorno di $u_0$. In questo caso hai a disposizione il Teorema di rango costante che ti fornisce informazioni dettagliate sul comportamento locale di $h$ e ti permette di concludere. Conosci questo teorema? Se no posso fornirti dei riferimenti biblografici.

Senza questa ipotesi aggiuntiva la proposizione potrebbe essere falsa. In linea di massima il rango del differenziale in un punto isolato non fornisce informazioni significative. Ad esempio prendi $h(x, y)=x^2+y^2$, una mappa di $RR^2$ in $RR$: in $(0,0)$ essa ha rango zero ("rango in un punto"="rango del differenziale nel punto") ma direi che non verifica la tua tesi. Controlla bene però perché io non l'ho fatto.

[qwertyuio1]

Infatti non chiedo $S$ aperto, perché moralmente lo penso come una sottovarietà. Non conosco il teorema del rango costante.
Riguardo al tuo controesempio, $h$ ha rango 0 in $(0,0)$ ma io chiedevo che avesse rango 1 (uguale alla dimensione dello spazio d'arrivo).
In generale, se $A(x)$ matrice $m*n$ ,$m<=n$, definita per $x\in U$ aperto e ivi continua, e so che il rango di $A(x_0)$ è massimo (=$m$), non posso affermare che il rango di $A(x)$ è costante intorno a $x_0$?
Infatti se $rank(A(x_0))=m$ ci sarà una sottomatrice $m*m$ $D(x_0)$ con $det(D(x_0))!=0$. Ma allora, per la continuità del determinante e degli elementi di $A$ (e quindi di $D$), si ha $det(D(x))!=0$ intorno a $x_0$. Perciò $rank(A(x))=m$ intorno a $x_0$.

[dissonance]

Ti chiedo scusa, non mi ero accorto che $m$ fosse uguale alla dimensione dello spazio in arrivo. In questo caso il discorso sul rango che hai fatto è perfettamente corretto e anzi si tratta di un ragionamento che si usa spesso in geometria differenziale.

Il teorema di rango costante a cui facevo riferimento è una conseguenza del teorema della funzione inversa che permette di portare localmente in forma canonica le applicazioni differenziabili, in maniera simile alla diagonalizzazione delle matrici, o alla forma canonica di Jordan e teoremi simili; cito dal libro di John Lee Introduction to smooth manifolds:

"Theorem 5.13 (Rank Theorem)":Suppose M and N are smooth manifolds of dimensions m and n respectively, and $F:M \to N$ is a smooth map with constant rank $k$. For each $p\inM$ there exist coordinates $(x^1, ..., x^m)$ centered at $p$ and $(v^1, ldots, v^n)$ centered at $F(p)$ in which $F$ has the following coordinate representation:

$f(x^1, ..., x^m)=(x^1, ..., x^k, 0, ..., 0)$ .

(per ulteriori informazioni e una dimostrazione puoi consultare le dispense di Luca Lussardi, §1.6 pag.16).

Grazie alla tua argomentazione del post precedente, questo teorema è sempre applicabile alla funzione $h$, che quindi potremo rappresentare in un intorno di $u_0$ come

$h(x^1...x^m)=(x^1...x^n)$, dove $u_0 -=(0, ..., 0)$. (*)

Quindi per dimostrare o confutare la tua congettura possiamo limitarci a questa applicazione particolarmente semplice. Io però credo che la congettura sia falsa. Infatti questa $h$ non è ingettiva se $m>n$, e quindi nemmeno invertibile.

_________________________
Sto usando le notazioni del libro di Lee, il quale usa lo stesso simbolo per l'applicazione $h$ e per le sue rappresentazioni in coordinate; a rigore dovrei scrivere: "introdotte carte locali $(V, phi)$ in $u_0$ e $(V', phi')$ in $h(u_0)$ e detta $\bar{h}=phi' \circ h \circ phi^{-1}$, risulta che $\bar{h}$ è uguale a ...".

[Alexp1]

Anche secondo me quanto dice "dissonance" è corretto, se hai un'applicazione $h:RR^n->RR^m$ con $mn$. Ciao

[qwertyuio1]

Grazie, ora proverò a darci un occhio, comunque per me $h:RR^m->RR^n$ con $0<=m<=n$.

[dissonance]

Ho fatto un minestrone di $m$ ed $n$. Comunque il teorema di rango costante è quello e non ci piove. Sono sicuro che è la giusta conseguenza del teorema dello jacobiano che ti serve.

[Alexp1]

Riprendendo la tua domanda iniziale, ossia:

"qwertyuio":
Sia $h\inC^k(U,RR^n)$ con $U$ aperto di $RR^m$, $0\leq m\leq n$, $k\geq 1$.
Sia $u_0\in U$, $rank(J_h(u_0))=m$ (dove $J_h$ indica la matrice jacobiana di $h$).
Posso affermare che $h$ è un omeomorfismo locale in $u_0$?

Si