Variabile complessa
sia M una varietà compatta complessa di dimensione $n$. dimostrare che non esiste una funzione olomorfa $f:M->CC$ e non costante...
come diavolo si fa?... ah mi è venuto forse in mente adeso mentre scrivo... per caso si sfrutta il teorema del massimo?
buh nn saprei... visto che è compatta $f$ ha massimo ma nn saprei come continuare...
come diavolo si fa?... ah mi è venuto forse in mente adeso mentre scrivo... per caso si sfrutta il teorema del massimo?
buh nn saprei... visto che è compatta $f$ ha massimo ma nn saprei come continuare...
Risposte
se esistesse un principio del massimo anche per funzioni analitiche da $C^n$ in $C$, ovvero:
Prop: $f$ è analitica in un aperto e non costante allora $|f|$ non ha massimo in A.
la proposizione è vera per funzioni da $C$ in $C$, ed a me era stato presentato così a lezione. Non saprei dove guardare per vedere se funziona anche a dimensione più alte del dominio.
Se valesse un teorema simile anche per gli altri domini (premetto che al momento non so nulla di come si modifica la teoria delle funzioni analitiche) credo si concluderebbe in fretta.... mi sembra che gli ingredienti che hai detto bastano per concludere!....o mi sfugge qualcosa?
tu componendo col modulo si ha una funzione continua dalla varietà in $R$ che ha quindi massimo in un punto $P$. Prendendo la carta su questo punto la $f$ induce naturalmente una funzione $f'$ da un aperto di C^n in C che avrà modulo massimo nel centro della carta. Il centro però appartiene all'aperto di C^n e se la proposizione fosse vera questa è una contraddizione.
fammi sapere...
Prop: $f$ è analitica in un aperto e non costante allora $|f|$ non ha massimo in A.
la proposizione è vera per funzioni da $C$ in $C$, ed a me era stato presentato così a lezione. Non saprei dove guardare per vedere se funziona anche a dimensione più alte del dominio.
Se valesse un teorema simile anche per gli altri domini (premetto che al momento non so nulla di come si modifica la teoria delle funzioni analitiche) credo si concluderebbe in fretta.... mi sembra che gli ingredienti che hai detto bastano per concludere!....o mi sfugge qualcosa?
tu componendo col modulo si ha una funzione continua dalla varietà in $R$ che ha quindi massimo in un punto $P$. Prendendo la carta su questo punto la $f$ induce naturalmente una funzione $f'$ da un aperto di C^n in C che avrà modulo massimo nel centro della carta. Il centro però appartiene all'aperto di C^n e se la proposizione fosse vera questa è una contraddizione.
fammi sapere...
oh ma io in questo periodo sto strafatto......
con quanto sopra ovviamente (supponendo il lemma) deduco solo che la funzione $f$ deve essere costante in un aperto $U$.
A questo punto cercherei di dimostrare che dare la funzione in questo aperto determina dappertutto un suo eventuale prolungamento analitico.
peccato non avere anche la connessione con la quale si concluderebbe in fretta..
... altrimenti cmq credo che si concluda facilmente che la f è costante sulle componenti connesse, infatti prendiamo la componente connessa $K$ di $U$ (che è un insieme chiuso e aperto per le proprietà delle varietà):
- prendiamo un ricoprimento finito di $K$ contenente $U$ di modo che tutti gli insiemi appartengano a delle carte (lo si può fare scegliendo $U$ e lavorando su $M=U^c \cap K$ che è comunque compatto in quanto chiuso in un compatto). Siano $U,U_i$ gli aperti scelti. Ora $U$ intersecato l'unione dei rimanenti è non vuoto, altrimenti avremmo disconnesso. Quindi $U$ interseca un insieme dei rimanenti che chiamiamo $U_1$. Ma allora è facile vedere che la funzione $f$ deve essere costante sia su $U$ che su $U_1$ con lo stesso valore (oddio facile... suppongo sia vero che una funzione analitica da C^n in C che è zero in un aperto sia zero dappertutto, cosa che non so se è vera). Per induzione si vede che la $f$ è costante su tutti gli aperti che ricoprono $K$ e quindi è costante in $K$.
Andando su un'altra componente connessa e restringendo la $f$ si otterrà ancora una funzione continua con un massimo e si può ripercorrere il ragionamento sopra.
Rimarrebbe da collegare ora il valore della funzione su due componenti connesse diverse... però sinceramente non vedo la necessità di avere lo stesso valore su componenti connesse diverse... boh...
cmq prometto solennemente che da ora in poi non interverrò in conversazioni di cui non abbia una minima padronanza dell'argomento
con quanto sopra ovviamente (supponendo il lemma) deduco solo che la funzione $f$ deve essere costante in un aperto $U$.
A questo punto cercherei di dimostrare che dare la funzione in questo aperto determina dappertutto un suo eventuale prolungamento analitico.
peccato non avere anche la connessione con la quale si concluderebbe in fretta..
... altrimenti cmq credo che si concluda facilmente che la f è costante sulle componenti connesse, infatti prendiamo la componente connessa $K$ di $U$ (che è un insieme chiuso e aperto per le proprietà delle varietà):- prendiamo un ricoprimento finito di $K$ contenente $U$ di modo che tutti gli insiemi appartengano a delle carte (lo si può fare scegliendo $U$ e lavorando su $M=U^c \cap K$ che è comunque compatto in quanto chiuso in un compatto). Siano $U,U_i$ gli aperti scelti. Ora $U$ intersecato l'unione dei rimanenti è non vuoto, altrimenti avremmo disconnesso. Quindi $U$ interseca un insieme dei rimanenti che chiamiamo $U_1$. Ma allora è facile vedere che la funzione $f$ deve essere costante sia su $U$ che su $U_1$ con lo stesso valore (oddio facile... suppongo sia vero che una funzione analitica da C^n in C che è zero in un aperto sia zero dappertutto, cosa che non so se è vera). Per induzione si vede che la $f$ è costante su tutti gli aperti che ricoprono $K$ e quindi è costante in $K$.
Andando su un'altra componente connessa e restringendo la $f$ si otterrà ancora una funzione continua con un massimo e si può ripercorrere il ragionamento sopra.
Rimarrebbe da collegare ora il valore della funzione su due componenti connesse diverse... però sinceramente non vedo la necessità di avere lo stesso valore su componenti connesse diverse... boh...
cmq prometto solennemente che da ora in poi non interverrò in conversazioni di cui non abbia una minima padronanza dell'argomento
si la varietà è compatta e connessa.
non capisco... allora mancava nelle ipotesi che hai dato? oppure è in qualche modo implicato da queste?
ma allora le varie proprietà delle funzione analitiche da C^n in C che ho supposto esistere sono corrette? il ragionamento fila?
ma allora le varie proprietà delle funzione analitiche da C^n in C che ho supposto esistere sono corrette? il ragionamento fila?
secondo me si in quanto è la generalizzazione del caso della sfera di Riemann.
scusa ma a cosa si riferisce il tuo "si"?Il testo del problema cosa dice? Devo pensare che secondo te c'è da aggiungere varietà connessa ma che il testo non lo riporta?... e quale è "il caso della sfera di Riemann"?...
il mio si si riferisce che il tuo discorso mi convince. per quanto riguarda la sfera di riemann si dimostra che le sole funzioni olomorfe sulla sfera di riemann sono le costanti e questo si fa facilmente.
il mio problema riguarda il fatto che una varietà compatta connessa e complessa non si riesce sempre ad immergere in un qualche $CC^N$ cosa che invece è vera per le varietà differenziabili le quali si riescono ad immergere in un $RR^m$ opportuno.
io direi così: localmente è ovvio che una funzione olomorfa su una varietà compatta connessa complessa sia costante questo per il teorema di liuville, adesso se per assurdo esistesse un'immersione in un qualche $CC^N$ allora le funzioni coordinate di $CC^N$ si restringerebbero a funzioni olomorfe non costanti sulla varietà e questo quindi contraddirrebbe la compattezza.
il mio problema riguarda il fatto che una varietà compatta connessa e complessa non si riesce sempre ad immergere in un qualche $CC^N$ cosa che invece è vera per le varietà differenziabili le quali si riescono ad immergere in un $RR^m$ opportuno.
io direi così: localmente è ovvio che una funzione olomorfa su una varietà compatta connessa complessa sia costante questo per il teorema di liuville, adesso se per assurdo esistesse un'immersione in un qualche $CC^N$ allora le funzioni coordinate di $CC^N$ si restringerebbero a funzioni olomorfe non costanti sulla varietà e questo quindi contraddirrebbe la compattezza.
mi sembra di capire che tu stai cercando di costruire un lemma preliminare (suscettibile di correzioni) ovvero quello che hai proposto per dimostrare un altro risultato, ovvero che una varietà C^N non si riesce sempre ad immergere in un quale C^K....
per rendere conclusivo il tuo ragionamento finale dovresti farmi vedere che:
- esiste una coordinata non costante su tutta la varietà dopo l'immersione;
- una funzione coordinata ristretta è una funzione olomorfa;
fatto questo il tutto funziona (forse)
per rendere conclusivo il tuo ragionamento finale dovresti farmi vedere che:
- esiste una coordinata non costante su tutta la varietà dopo l'immersione;
- una funzione coordinata ristretta è una funzione olomorfa;
fatto questo il tutto funziona (forse)
e quelle due condizioni non riesco a dimostrarle. non riesco a venirne a capo
Magari potrebbe aiutare il teorema di Liouville? mmm forse ora che ci penso no, perchè le ipotesi sono di una funzione olomorfa in tutto C e quindi intera, mentre in questo caso siamo in presenza di un compatto; Inoltre si dovrebbe dimostrare che |f| è limitata, però non sappiamo niente della funzione....Mah!
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