Variabile complessa

[Principe2]

Scrivere lo sviluppo di Laurent della funzione

$f(z)=1/(z-1)+1/z+1/(z+1)$

in un intorno dei suoi punti singolari.

[Kroldar]

"ubermensch":Scrivere lo sviluppo di Laurent della funzione

$f(z)=1/(z-1)+1/z+1/(z+1)$

in un intorno dei suoi punti singolari.

La funzione $1/(z-1) + 1/(z+1)$ è olomorfa nelle due corone circolari $A={z: |z|<1}$ e $B={z: |z|>1}$ e in esse può essere sviluppata in serie di Laurent di centro $0$.

Per $|z|<1$ risulta

$1/(z-1) = -1/(1-z) = - sum_(n=0)^(+oo) z^n$

$1/(z+1) = 1/(1+z) = sum_(n=0)^(+oo) (-z)^n$

Per $|z|>1$ risulta

$1/(z-1) = 1/z 1/(1-1/z) = sum_(n=-oo)^(-1) z^n$

$1/(z+1) = 1/z 1/(1+1/z) = sum_(n=-oo)^(-1) (-z)^n$

In definitiva

$f(z) = - sum_(n=0)^(+oo) z^n + 1/z + sum_(n=0)^(+oo) (-z)^n AA |z|<1$

$f(z) = sum_(n=-oo)^(-1) z^n + 1/z + sum_(n=-oo)^(-1) (-z)^n AA |z|>1$

A meno di qualche semplificazione, lo sviluppo di $f$ intorno a $0$ dovrebbe essere questo.

[Principe2]

scusa ... ma
si può fare

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}1/(n!)d^n/(dz^n)f(z_0)(z-z_0)^n$

dove $z_0$ è un punto in un intorno delle singolarità..
a questo punto c'è solo da calcolare le derivate $n$-esime, che
sono facili.

[Kroldar]

e per le potenze negative come fai?

[Principe2]

ok...
allora ricominciamo dall'inizio

cosa è lo sviluppo di Laurent?

[Kroldar]

Azzz

Sia $f$ una funzione olomorfa in una corona circolare di centro $z_0$, allora esistono dei coefficienti complessi $c_n$ tali che

$f(z) = sum_(n=-oo)^(+oo) c_n (z-z_0)^n$

con $z$ contenuto nella corona circolare.

I coefficienti $c_n$ si calcolano con la seguente formula:

$c_n = 1/(2pij) int_Gamma f(zeta)/(zeta-z_0)^(n+1) d zeta$ dove $Gamma$ è una circonferenza di centro $z_0$ interna alla corona circolare.

In parole povere, lo sviluppo di Laurent è una serie bilatera di potenze (secondo certi coefficienti), la cui somma è pari a una funzione data a patto che questa sia olomorfa in una corona circolare.

[Kroldar]

"ubermensch":
a questo punto c'è solo da calcolare le derivate $n$-esime, che
sono facili.

Aggiungo... il metodo che ho usato io, cioè il ricorso alla serie geometrica, non è affatto difficile se è per questo... ci ho messo più tempo a scriverlo che a pensarlo

[Sk_Anonymous]

Se devo essere sincero mi pare stiate trasformando un problema di estrema semplicità in un 'dramma pirandelliano'...

Allora sia...

$f(z)= 1/(1+z)+1/z-1/(1-z)$ (1)

Valendo per $|z|<1$ i noti sviluppi...

$1/(1+z)= 1-z+z^2-z^3+...$

$1/(1-z)= 1+z+z^2+z^3+...$ (2)

... dalla (1) si ha...

$f(z)= 1/z-2*z-2*z^3-2*z^5-...$ (3)

La (3) non è altro che lo sviluppo in serie di Laurent nell'intorno di $z=0$. La serie converge per $0<|z|<1$...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Principe2]

"Kroldar":
I coefficienti $c_n$ si calcolano con la seguente formula:

$c_n = 1/(2pij) int_Gamma f(zeta)/(zeta-z_0)^(n+1) d zeta$ dove $Gamma$ è una circonferenza di centro $z_0$ interna alla corona circolare.

Per cui la formula che ho scritto io dà solo i coefficienti con $n$ positivo ...
ok... va bene