Variabile complessa
mi sto studiando il teorema di Dirichlet sulla distribuzione dei primi
e mi serve di sapere un pò di variabile complessa...
1) cos'è una estensione analitica?
2) cos'è un polo semplice di una funzione?
grazie.
e mi serve di sapere un pò di variabile complessa...
1) cos'è una estensione analitica?
2) cos'è un polo semplice di una funzione?
grazie.
Risposte
Può essere [non si sa mai...] che all'interno della discussione...
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=73396
... si trovi la risposta ai due quesiti...
Never say never again!!!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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L'estensione analitica è una procedura che consente di prolungare analiticamente una fuzione di variabile complessa all'esterno del suo insieme di definizione, attraverso, se è il caso, il Teorema del prolungamento analitico.
Ad esempio, il più stupido e inutilmente dibattuto in questo forum, la funzione $(sen z)/z$ definita su $C$ tranne che per $z=0$, è una funzione analitica (ricordo a tutti che in Matematica quando si assegna una funzione, si assegna anche il dominio, non ha senso dare una funzione senza dire dove essa è definita; mi sembra appaia abbastanza chiaro ed elementare che $z=0$ nel nostro caso non possa stare nel naturale insieme di definizione della $f$), ovvero si sviluppa in serie di potenze su ogni palla la cui chiusura non contenga lo $0$. Osservando che essa tende a $1$ per $z$ che tende a $0$, la funzione stessa può essere prolungata per continuità (ed anche olomorfia) ad una funzione analitica definita su tutto $C$. Questo estensione è in un caso molto banale; il teorema del prolungamento analitico consente invece una tecnica di prolungamento molto più funzionale.
Infine i poli semplici sono le singolarità delle funzioni di variabile complessa che competono a "zeri del denominatore di grado 1" per i quali $|f(z)|$ esplode se $z$ tende a tale zero. La funzione $1/z$ ha un polo semplice in $z=0$.
Ad esempio, il più stupido e inutilmente dibattuto in questo forum, la funzione $(sen z)/z$ definita su $C$ tranne che per $z=0$, è una funzione analitica (ricordo a tutti che in Matematica quando si assegna una funzione, si assegna anche il dominio, non ha senso dare una funzione senza dire dove essa è definita; mi sembra appaia abbastanza chiaro ed elementare che $z=0$ nel nostro caso non possa stare nel naturale insieme di definizione della $f$), ovvero si sviluppa in serie di potenze su ogni palla la cui chiusura non contenga lo $0$. Osservando che essa tende a $1$ per $z$ che tende a $0$, la funzione stessa può essere prolungata per continuità (ed anche olomorfia) ad una funzione analitica definita su tutto $C$. Questo estensione è in un caso molto banale; il teorema del prolungamento analitico consente invece una tecnica di prolungamento molto più funzionale.
Infine i poli semplici sono le singolarità delle funzioni di variabile complessa che competono a "zeri del denominatore di grado 1" per i quali $|f(z)|$ esplode se $z$ tende a tale zero. La funzione $1/z$ ha un polo semplice in $z=0$.
grazie Luca,
potresti inoltre dirmi cosa dice il "teorema del prolungamento analitico"?
potresti inoltre dirmi cosa dice il "teorema del prolungamento analitico"?
Se due funzioni $f$ e $g$ sono olomorfe in un aperto connesso $A$ e coincidono su un sottoinsieme di $A$ che ha almeno un punto di accumulazione interno ad $A$, allora $f$ e $g$ coincidono in tutto $A$.
ok... lo conoscevo come corollario del "teorema degli zeri isolati"
sia $f$ una funzione complessa di variabile complessa, $z_0 in CC$ è un polo semplice per $f$ se nello sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $z_0$, detti $c_n$ i coefficienti dello sviluppo, l'unico coefficiente a indice negativo non nullo è $c_(-1)$
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