Vari Integrali Tripli

[LoneFellow]

[*]Salve,

Ho appena scoperto l esistenza degli integrali tripli e mi sono messo al lavoro, cercando di fare gli esercizi però mi sono reso conto che integrando sia per strati che per fili avevo risultati diversi, penso che abbia fatto confusione ma non saprei dire, anche perché secondo le dispense sarei nel giusto ma a guardare i risultati ...
Gli esercizi potranno sembrare semplici, ma la cosa difficile, sembra, non integrare di per se ma riuscire ad impostare l integrale in se .
Gli esercizi sono questi, io ci sto già lavorando da 4 ore , lo so, sono pochi, 5 esercizi ma ne voglio venire a capo ^^ .

1) $ int_A x*(z-1) $ $d(x)d(y)d(z)$ $ $ $ A={x,y,z >=0 , x+y+z<=1} $ $[-1/30]$

Allora, a me risulta che sia un piano, con proiezione $y=x-1$ sul piano xy e con proiezione [0;1] sul piano z . Cioè vorrebbe l il volume del triangolo formato tra 1-x e l origine di altezza z[0;2] . Impostandolo

$int_0^1 int_0^(1-x) int_(-x)^(1-x) x(z-1)$ $ $ $d(x)d(y)d(z)$ Che a me viene $ [1/3]$


2) $ int_A z^2 $ $d(x)d(y)d(z)$ $ $ $ A={ x^2+y^2<=z<=1]$ $[pi/4]$

Qui abbiamo un paraboloide e bisogna calcolare l area tra i piani $z[0;1]$ . Tra questi piani ci sono delle circonferenze di raggio z . Integrale impostato, con le coordinate polari , :

$int_0^1 z^2 int_0^(2*pi) int_(0)^(z) q $ $ $ $d(q)d(o)d(z)$ $[pi/5]$

3) $ int_A 2*(z-1) $ $d(x)d(y)d(z)$ $ A={ x>=0, 0<=y<=1-x ,0<=z<=1-x^2-y^2 } $ $[-19/45]$
Impostato
$int_0^1 int_0^(1-x) int_(0)^(1-x^2-y^2) 2*(z-1) $ $ $ $d(z)d(x)d(y)$ $[-5/18+16/25-17/36!= -19/45]$

4) $ int_A 4*x^2+y^2 $ $d(x)d(y)d(z)$ $ A={ 4*x^2+y^2-z^2<1, 0 Paraboloide ad una falda , parallelo asse z ,ellissi con $z[0;1] a[(z^2+1)/4,0] b[0, (z^2+1)]$ e il corispetivo negativo, integrato per regioni, cioè su xy la proiezione è $ 4*x^2+y^2=1$ trasformato in coordinate polari con $[\x= (1/2)*q*cos(o)\] [\y=q*sin(o)\] [\Det J = (1/2)*q\]$

Integrale impostato :
$int_0^2 int_0^(2*pi) int_(0)^(1) (1/3)*q^3 $ $ $ $d(q)d(0)d(z)$ $[pi/2]$

5) $ int_A z $ $d(x)d(y)d(z)$ $ A={ z>=0, 1<=x^2+y^2+z^2<=4 } $ $[(15/4)*pi]$
Qui, due sfere, tagliate dal piano z=0 , mi sono proposto di farlo in coordinate polari , calcolando il volume della sfera di raggio 2 e sottraendoci il volume della sfera di raggio 1 , tutto quanto rispetto alla funzione z .

$int_0^2 int_0^2 int 0^(pi) h*q d(q)d(o)d(h)$ $[4*pi]$
$int_0^1 int_0^1 int_0^(pi) h*q d(q)d(o)d(h)$ $[(1/2)*pi ]$
Che non fa esattamente $[(15/4)*pi]$ .

In sintesi dopo vari tentativi , e modi di integrare, con questi mi sono avvicinato di più ai risultati ...

[Quinzio]

"LoneFellow":

[*]Salve,

Ho appena scoperto l esistenza degli integrali tripli e mi sono messo al lavoro, cercando di fare gli esercizi però mi sono reso conto che integrando sia per strati che per fili avevo risultati diversi, penso che abbia fatto confusione ma non saprei dire, anche perché secondo le dispense sarei nel giusto ma a guardare i risultati ...
Gli esercizi potranno sembrare semplici, ma la cosa difficile, sembra, non integrare di per se ma riuscire ad impostare l integrale in se .
Gli esercizi sono questi, io ci sto già lavorando da 4 ore , lo so, sono pochi, 5 esercizi ma ne voglio venire a capo ^^ .

1) $ int_A x*(z-1) $ $d(x)d(y)d(z)$ $ $ $ A={x,y,z >=0 , x+y+z<=1} $ $[-1/30]$

Allora, a me risulta che sia un piano, con proiezione $y=x-1$ sul piano xy e con proiezione [0;1] sul piano z . Cioè vorrebbe l il volume del triangolo formato tra 1-x e l origine di altezza z[0;2] . Impostandolo

$int_0^1 int_0^(1-x) int_(-x)^(1-x) x(z-1)$ $ $ $d(x)d(y)d(z)$ Che a me viene $ [1/3]$

Quando risolvi l'integrale più interno (in x), dopo non hai più dipendenze dalla x stessa, però si vede che un estremo del secondo integrale dipende da x. O hai sbagliato a scrivere, oppure non si sa come tu abbia fatto a risolverlo.

2) $ int_A z^2 $ $d(x)d(y)d(z)$ $ $ $ A={ x^2+y^2<=z<=1]$ $[pi/4]$

Qui abbiamo un paraboloide e bisogna calcolare l area tra i piani $z[0;1]$ . Tra questi piani ci sono delle circonferenze di raggio z . Integrale impostato, con le coordinate polari , :

Di raggio $sqrt z$.

$int_0^1 z^2 int_0^(2*pi) int_(0)^(z) q $ $ $ $d(q)d(o)d(z)$ $[pi/5]$

3) $ int_A 2*(z-1) $ $d(x)d(y)d(z)$ $ A={ x>=0, 0<=y<=1-x ,0<=z<=1-x^2-y^2 } $ $[-19/45]$
Impostato
$int_0^1 int_0^(1-x) int_(0)^(1-x^2-y^2) 2*(z-1) $ $ $ $d(z)d(x)d(y)$ $[-5/18+16/25-17/36!= -19/45]$

Sembra corretto, saltano fuori tante potenze antipatiche. Ricontrolla i calcoli....

4) $ int_A 4*x^2+y^2 $ $d(x)d(y)d(z)$ $ A={ 4*x^2+y^2-z^2<1, 0 Paraboloide ad una falda , parallelo asse z ,ellissi con $z[0;1] a[(z^2+1)/4,0] b[0, (z^2+1)]$ e il corispetivo negativo, integrato per regioni, cioè su xy la proiezione è $ 4*x^2+y^2=1$ trasformato in coordinate polari con $[\x= (1/2)*q*cos(o)\] [\y=q*sin(o)\] [\Det J = (1/2)*q\]$

Io rimarrei in coordinate cartesiane...

Integrale impostato :
$int_0^2 int_0^(2*pi) int_(0)^(1) (1/3)*q^3 $ $ $ $d(q)d(0)d(z)$ $[pi/2]$

5) $ int_A z $ $d(x)d(y)d(z)$ $ A={ z>=0, 1<=x^2+y^2+z^2<=4 } $ $[(15/4)*pi]$
Qui, due sfere, tagliate dal piano z=0 , mi sono proposto di farlo in coordinate polari , calcolando il volume della sfera di raggio 2 e sottraendoci il volume della sfera di raggio 1 , tutto quanto rispetto alla funzione z .

$int_0^2 int_0^2 int 0^(pi) h*q d(q)d(o)d(h)$ $[4*pi]$
$int_0^1 int_0^1 int_0^(pi) h*q d(q)d(o)d(h)$ $[(1/2)*pi ]$

Prego ? Cosa sarebbe cio' ?
Perchè non usi i soliti angoli e raggio $\varphi, \theta, \rho$ così tutti siamo già in sintonia ?
Cosa sarebbe mai $0^\pi$ ?
Ok sono gli estremi scritti male. Comunque lo jacobiano non lo vedo li in mezzo, riscrivi bene poi se ne riparla.
Occhio che qui anche una virgola fa differenza

Che non fa esattamente $[(15/4)*pi]$ .

In sintesi dopo vari tentativi , e modi di integrare, con questi mi sono avvicinato di più ai risultati ...

[LoneFellow]

1)
Avevo provato ingenuamente , adesso me ne rendo conto ad integrare sia per fili che per strati e per combinazione è risovibile.(Eureka!)
Comunque, visto che è un triangolo sugli assi xy e su z è semplice , direi :
$int_0^1(1-z) int_0^(1) int_(0)^(1-x) x$ $ $ $d(y)d(x)d(z)$ Che fa $ [-1/12]$ != -1/30 ...
2)
Si di raggio $sqrt z $ , devo fare più attenzione .
Lui l ho risolto .

3) Si , tanti polinomi, continuo a sbagliare qualcosa nei calcoli ma mi sto avicinando (-7/30) .
Cosi come lo avevo impostato prima non mi sembra coretto . Cosi mi pare meglio :

$int_0^1 int_0^(1-x) int_(-x^2-y^2-1)^(-x^2-y^2) 2(z-1)$ $ $ $d(y)d(x)d(z)$ $[-7/30 != -19/45] $

4) Ecco, senza il cambio mi verrebbe un integrale del genere :

$2*int_(-1/4)^(1/4) int_0^(+sqrt(1-4*x^2)) (4*x^2+y^2) int_(4*x^2+y^2-1)^(4*x^2+y^2-5) 1 $ $ $ $d(z)d(y)d(x)$
Per quello che ho preferito il cambio di coordinate . Cosi è tremendo e continua a non risolversi .

5)
Allora, qui , essendo due sfere, ho pensato di fare il volume di ognuna e dopo di sottrarlo, tutto quanto rispetto alla funzione z .
$int_0^2 φ int_0^(pi) int_(0)^(2) ρ $ $ $ $d(θ)d(ρ)d(φ)$
$int_0^1 φ int_0^(pi) int_(0)^(1) ρ $ $ $ $d(θ)d(ρ)d(φ)$
Sottraendo dalla prima la seconda , eppure cosi continuo a sbagliare da qualche parte.
Il $Det J = ρ $
Avrei usato θ,ρ,φ ma come fare ? Adesso però lo so .
Ma ottengo sempre un risultato diverso ^^ .