Vari esercizi sui Numeri Complessi
Salve a tutti,
prima di tutto chiedo scusa al forum e seguo il consiglio di Seneca.
Ecco l'esercizio che sto cercando di svolgere:
Il luogo geometrico degli z che soddisfano le relazioni:
(A)$ |z - (3+i)|leq 2 $ e (B)$Re(z^(2) + 7i)-(Rez)^(2)=0$ è
una retta, una circonferenza, la retta x=0 oppure un segmento? (motivare la risposta)
La mia soluzione (parziale):
Svolgo (B) sostituendo $z=a+ib$
$Re[(a+ib)^(2) + 7i]-[Re(a+ib)]^(2)=Re(a^(2)+2iab+b^(2) + 7i)-(a^(2)+b^(2))=a^(2)+b^(2)-a^(2)-b^(2)=0$
La (B) ha quindi ragione di esistere
La (A) non saprei come svolgerla, ad occhio mi sembra una circonferenza perchè il modulo di un numero complesso $leq2$ denota la presenza di una circonferenza (a parer mio).
Ringrazio e mi scuso ancora per il mio comportamento
prima di tutto chiedo scusa al forum e seguo il consiglio di Seneca.
Ecco l'esercizio che sto cercando di svolgere:
Il luogo geometrico degli z che soddisfano le relazioni:
(A)$ |z - (3+i)|leq 2 $ e (B)$Re(z^(2) + 7i)-(Rez)^(2)=0$ è
una retta, una circonferenza, la retta x=0 oppure un segmento? (motivare la risposta)
La mia soluzione (parziale):
Svolgo (B) sostituendo $z=a+ib$
$Re[(a+ib)^(2) + 7i]-[Re(a+ib)]^(2)=Re(a^(2)+2iab+b^(2) + 7i)-(a^(2)+b^(2))=a^(2)+b^(2)-a^(2)-b^(2)=0$
La (B) ha quindi ragione di esistere
La (A) non saprei come svolgerla, ad occhio mi sembra una circonferenza perchè il modulo di un numero complesso $leq2$ denota la presenza di una circonferenza (a parer mio).
Ringrazio e mi scuso ancora per il mio comportamento
Risposte
Prima di cominciare a vedere gli esercizi, ti consiglio di riservare qualche minuto alla lettura del regolamento.
"Seneca":
Prima di cominciare a vedere gli esercizi, ti consiglio di riservare qualche minuto alla lettura del regolamento.
Ho modificato, chiedo venia
Riferendomi a $|z - (3-i)|\le 2$ direi che entrambe le risposte sono sbagliate. Infatti il luogo dei punto non è una circonferenza ne tanto meno una retta. Se ci fosse l'uguale al posto del minore uguale sarebbe stato una circonferenza ma altrimenti è un cerchio (unito alla circonferenza se con cerchio si intende solo l'interno) o un disco.
"Sandreddu":
Svolgo (B) sostituendo $z=a+ib$
$Re[(a+ib)^(2) + 7i]-[Re(a+ib)]^(2)=Re(a^(2)+2iab+b^(2) + 7i)-(a^(2)+b^(2))=a^(2)+b^(2)-a^(2)-b^(2)=0$
La (B) ha quindi ragione di esistere
Temo di non avere capito questo passaggio che hai scritto: $[Re(a+ib)]^(2)=a^2+b^2$
Io direi invece che $[Re(a+ib)]=a \Rightarrow [Re(a+ib)]^2=a^2$
Quindi mi viene: $Re[(a+ib)^(2) + 7i]-[Re(a+ib)]^(2)=Re(a^(2)+2iab+b^(2) + 7i)-a^(2)=a^(2)+b^(2)-a^(2)$
Osservo che: $0=a^(2)+b^(2)-a^(2)$ se e solo se $b=0$
Allora la soluzione è l'insieme dei numeri reali.
Io farei inoltre notare che la parte reale è una funzione tale che $Re(z_1+z_2) = Re(z_1)+Re(z_2)$ ed in particolare invariante per addizione di numeri immaginari. Quindi $Re(z^2 + 7i) = Re(z^2)$. Inoltre $Re(z^2) = a^2 - b^2$ in quanto $i^2 = -1$.
Le considerazione successive coincidono con quelle di Clorinda.
Le considerazione successive coincidono con quelle di Clorinda.
Grazie a tutti
Sulla (B) avevo commesso un errore rifacendo i calcoli ottenevo come voi $b=0$
Sulla (A) come potrei procedere? sostituisco $z=x+iy$?
$|x+iy-3-i|leq 2$
$sqrt((x-3)^(2)+(iy-i)^(2)) leq 2$
$(x-3)^(2)+(iy-i)^(2) leq 4$
$x^(2)-6x+9+y^(2)-2y+1-4leq0$
Poi sostituire $b=0$ della (A)?
L'esercizio mi chiede se il luogo geometrico degli z che soddisfano (A) e (B) è:
[] una retta
[] una circonfernza
[] la retta x=0
[] un segmento
Sulla (B) avevo commesso un errore rifacendo i calcoli ottenevo come voi $b=0$
Sulla (A) come potrei procedere? sostituisco $z=x+iy$?
$|x+iy-3-i|leq 2$
$sqrt((x-3)^(2)+(iy-i)^(2)) leq 2$
$(x-3)^(2)+(iy-i)^(2) leq 4$
$x^(2)-6x+9+y^(2)-2y+1-4leq0$
Poi sostituire $b=0$ della (A)?
L'esercizio mi chiede se il luogo geometrico degli z che soddisfano (A) e (B) è:
[] una retta
[] una circonfernza
[] la retta x=0
[] un segmento
(A) Come ho detto la risposta si suppone sia circonferenza ma in realtà è sbagliata perché la circonferenza è solo il bordo mente in questo caso c'è anche la parte interna.
$|x+iy-3-i|leq 2$ che diventa $|(x-3)+i(y-1)|leq 2$
Quindi devo calcolare la norma del numero complesso $(x-3)+i(y-1)$
$sqrt((x-3)^(2)+(y-1)^(2)) leq 2$
$(x-3)^(2)+(y-1)^(2) leq 4$
Che è un cerchio di centro $3+i$ (in $RR^2$ sarebbe il punto $(3,1)$ ) e raggio $2$.
Risolvendo si può anche scrivere
$x^(2) +y^2 -6x -2y +6 leq 0$
Se ci fosse l'uguale sarebbe una circonferenza.
Per il punto (B) direi che ci siamo già espressi abbastanza.
$|x+iy-3-i|leq 2$ che diventa $|(x-3)+i(y-1)|leq 2$
Quindi devo calcolare la norma del numero complesso $(x-3)+i(y-1)$
$sqrt((x-3)^(2)+(y-1)^(2)) leq 2$
$(x-3)^(2)+(y-1)^(2) leq 4$
Che è un cerchio di centro $3+i$ (in $RR^2$ sarebbe il punto $(3,1)$ ) e raggio $2$.
Risolvendo si può anche scrivere
$x^(2) +y^2 -6x -2y +6 leq 0$
Se ci fosse l'uguale sarebbe una circonferenza.
Per il punto (B) direi che ci siamo già espressi abbastanza.
"Sandreddu":
Poi sostituire $b=0$ della (A)?
Allora sarebbe $y=0$ visto che $z=x+iy$.
Per concludere, come hai scritto tu: $x^(2)-6x+9+y^(2)-2y+1-4leq0$, a questo punto poni $y=0$ e ottieni:
$x^(2)-6x+9+1-4=x^(2)-6x+6leq0$ (*)
La soluzione è l'insieme dei punti che soddisfano la disequazione(*), quindi...(continua tu)
Tutto ciò, da un punto di vista "grafico" è subito evidente, infatti la soluzione che trovi sopra non è altro che il risultato dell'intersezione tra il disco pieno di cui si conosce centro e raggio ( grazie Vict85!) e l'asse delle ascisse.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo