Vari dubbi dimostrazioni calcolo integrale

[TS778LB]

1)Dall'introduzione in poi il mio libro prende in considerazione funzioni definite in, ed integrali estesi ad intervalli semiaperti a destra del tipo $ [a,b) $. Giustifica tale scelta dicendo che gli intervalli della divisione si incastrano senza sovrapposizioni nè lacune ( $ [a,b) $ spezzato in $ [a,c) $ e $ [c,b) $). Se prendo un intervallo chiuso $ [a,b] $ non posso comunque dividerlo in sottointervalli $ [a,c) $ e $ [c,b] $ che si incastrano senza sovrapposizioni nè lacune ? Qual è quindi il motivo di scegliere intervalli semiaperti a dx?

2)In generale quando ho una relazione del tipo $ 0\lea-b<\epsilon $ mi viene detto che data l'arbitrarietà di $\epsilon$ la differenza tra $a$ e $b$ è 0. Come si può formalizzare questa implicazione?

3) $f(x)$ definita in $[a,b)$ e limitata è integrabile in $[a,b)$ se e soltanto se esistono una successione $ \phi_n $ di funzioni maggioranti e una $ \psi_n $ di funzioni minoranti tali che $ \lim_{n \to \infty}(\int_{a}^{b} \phi_n\ dx-int_{a}^{b} \psi_n\ dx)=0 $. Quando cerco di capire l'ultima condizione mi viene da pensare che è verificata se man mano che aumenta $n$, le funzioni semplici considerate diventano sempre più fini (approssimano sempre più l'integrale di $f(x)$). E' giusto come ragionamento?

4)La serie $ \sum_{k=1}^infty a_k $ converge se e soltanto se la funzione $ A(x)=a_i $ con $ i-1\lex


Non capisco la maggiorazione ed il seguito.

Grazie

[Bokonon]

"TS778LB":
Non capisco la maggiorazione ed il seguito.

La logica è quella del teorema del gendarme https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_confronto
E l'oggetto di discussione sono intervalli in cui un estremo è aperto perchè in quel punto la funzione non è definita...e quindi potrai integrare solo se vi è convergenza.
Una volta che hai messo a fuoco il problema e la logica, ti risulterà più facile capire.