Valori di x in un intorno
Ciao, in un esercizio mi viene chiesto di trovare i valori di x in un intorno di 1 per i quali valga $f(x)>10$ con $f(x)=3/(x-1)^2$.
La soluzione è $|x-1|=0.55$. Come ci si arriva?
Per ora ho risolto la disequazione $f(x)>10$ e ho ottenuto $x_1~=0.44$ e $x_2 ~= 1.55$. Ora come tratto l'intervallo di 1?
Grazie
La soluzione è $|x-1|=0.55$. Come ci si arriva?
Per ora ho risolto la disequazione $f(x)>10$ e ho ottenuto $x_1~=0.44$ e $x_2 ~= 1.55$. Ora come tratto l'intervallo di 1?
Grazie
Risposte
Ciao.
Una volta impostato (supponendo $x!=1$, quindi $(x-1)^2>0$)
$f(x)=3/(x-1)^2>10$
si ricava
$(x-1)^2=|x-1|^2<3/10 Rightarrow |x-1|
quindi $x in (1-sqrt(3/10);1+sqrt(3/10))-{1}$.
Saluti.
Una volta impostato (supponendo $x!=1$, quindi $(x-1)^2>0$)
$f(x)=3/(x-1)^2>10$
si ricava
$(x-1)^2=|x-1|^2<3/10 Rightarrow |x-1|
quindi $x in (1-sqrt(3/10);1+sqrt(3/10))-{1}$.
Saluti.
Ciao, perchè $ (x-1)^2=|x-1|^2$?
"stefano86":
Ciao, perchè $ (x-1)^2=|x-1|^2 $?
Il motivo ha a che fare con il fatto che, avendo un qualunque numero reale $x$, vale $sqrt(x^2)=|x|$; infatti, se $x$ fosse positivo, il valore assoluto non interverrebbe in alcun modo su $x$ (perchè $|x|=x$), mentre se $x$ fosse negativo, il suo quadrato sarebbe positivo e, di conseguenza, la radice del quadrato rimarrebbe positiva, esattamente come $|x|$.
In conseguenza di quanto appena scritto, si ha che $x^2=|x|^2$.
Saluti.
Forse è una domanda scema: siccome l'esercizio specifica che bisogna trovare le $x$ in un intorno di 1, allora non posso considerare $x$ direttamente positiva visto che in un intorno di $1$ (piccolo) la $x>0$?
Se venisse invece chiesto di risolvere lo stesso problema ma in un intorno di $5$? Mi confonde un pò il fatto che l'intorno sia $1$ e il denominatore sia $(x-1)^2$..
Se venisse invece chiesto di risolvere lo stesso problema ma in un intorno di $5$? Mi confonde un pò il fatto che l'intorno sia $1$ e il denominatore sia $(x-1)^2$..
"stefano86":
Forse è una domanda scema: siccome l'esercizio specifica che bisogna trovare le $ x $ in un intorno di 1, allora non posso considerare $ x $ direttamente positiva visto che in un intorno di $ 1 $ (piccolo) la $ x>0 $?
Un intorno di 1 può essere costituito, in questo contesto, da un qualsiasi intervallo aperto contenente 1; nel mio svolgimento l'intervallo era dato da $(1-sqrt(3/10);1+sqrt(3/10))$
"stefano86":
Se venisse invece chiesto di risolvere lo stesso problema ma in un intorno di $ 5 $? Mi confonde un pò il fatto che l'intorno sia $ 1 $ e il denominatore sia $ (x-1)^2 $..
Un intorno di un qualsiasi numero $x in RR$ può essere costituito da intervalli aperti del tipo $(x-epsilon,x+epsilon)$, con $epsilon>0$ piccolo a piacere.
Nel caso di quest'esercizio, però, possono esserci intorni del punto $5$ che non soddisfano la condizione richiesta $ f(x)=3/(x-1)^2>10 $, ma questo è un altro discorso.
Saluti.
Ti ringrazio per la risposta ma non ho ancora capito 
In un caso generale quali sono i passaggi da fare?
In un caso generale quali sono i passaggi da fare?
"stefano86":
Ti ringrazio per la risposta ma non ho ancora capito
In un caso generale, si tratta di risolvere una disequazione (o un sistema di disequazioni nelle situazioni più elaborate) e di ricavare il relativo insieme delle soluzioni; in funzione della conformazione di tale insieme, si potrà arguire se questo (o una sua parte) possa costituire, o meno, un intorno di un punto.
Infatti, prendendo ad esempio proprio l'esercizio proposto, volendo soddisfare la condizione
$f(x)=3/(x-1)^2>10$
si otteneva che
$x in (1-sqrt(3/10);1+sqrt(3/10))-{1}$
L'intervallo $(1-sqrt(3/10);1+sqrt(3/10))$ costituisce, per l'appunto, un intorno del punto $1$.
Saluti.
"alessandro8":
In un caso generale, si tratta di risolvere una disequazione (o un sistema di disequazioni nelle situazioni più elaborate) e di ricavare il relativo insieme delle soluzioni; in funzione della conformazione di tale insieme, si potrà arguire se questo (o una sua parte) possa costituire, o meno, un intorno di un punto.
Infatti, prendendo ad esempio proprio l'esercizio proposto, volendo soddisfare la condizione
$f(x)=3/(x-1)^2>10$
si otteneva che
$x in (1-sqrt(3/10);1+sqrt(3/10))-{1}$
L'intervallo $(1-sqrt(3/10);1+sqrt(3/10))$ costituisce, per l'appunto, un intorno del punto $1$.
Saluti.
Ok, quindi risolvo la disequazione e ottengo un intervallo. Poi "sottraggo" all'estremo inferiore e superiore dell'intervallo il valore dell'intorno, se ottengo un valore positivo allora posso concludere che l'intervallo trovato è un intorno cercato, altrimenti no. Giusto?
Grazie mille per la tua disponibilità
"stefano86":
Ok, quindi risolvo la disequazione e ottengo un intervallo. Poi "sottraggo" all'estremo inferiore e superiore dell'intervallo il valore dell'intorno, se ottengo un valore positivo allora posso concludere che l'intervallo trovato è un intorno cercato, altrimenti no. Giusto?
Ciao.
Ripeto: nel caso dell'esercizio proposto, l'intorno è l'intervallo.
L'intorno di un punto non è un numero (visto che nella citazione si parla di "valore dell'intorno"), ma è un insieme contenente il punto in questione (in realtà esisterebbe una definizione più rigorosa di intorno di un punto); nel caso dell'esercizio proposto, l'intorno era dato da un intervallo, che è un particolare tipo di insieme.
"stefano86":
Grazie mille per la tua disponibilità
Di nulla.
Saluti.
Ora ho capito, grazie ancora 
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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