Valori di aderenza e massimo e minimo limite.
$ lim INf a_n = -1 $Ho da determinare i valori di aderenza e max e minimo limite delle seguenti successioni.
1) $a_n = n sin(\pi/2 n ) ln(1+1/n)$
Mi scelgo due successioni di interi naturali tali che le loro immagini partizionino $NN$.
Scelgo $k_1(NN)= 2n$ e $k_2(NN)=2n+1$ e valuto $a_(k_1)=2nsin(\pin) ln(1+1/(2n)) = { sin(\pi n )= 0 , AA n \in NN} =0$ , si ha che $a_(k_1) -> 0$
$j_1 =0$ è di aderenza , in quanto esiste un estratta di $a_n$ convergente a $0$.
Valuto ora $a_(k_2)= - (2n+1) ln(1+1/(2n+1))$
Poiché la funzione reale $f(x)= -(2x+1)ln(1+1/(2x+1))$ converge a $-1$ per $x->+\infty => a_n -> -1$ (in quanto $a_n$ è la restrizione di $f$ ad $NN$)
dunque $j_2=-1$ è di aderenza.
Si ha inoltre, poiché scelte $k_1,k_2$ successioni di numeri naturali tali che le immagini partizionano $NN$ , che gli unici valori di aderenza di $a_n$ sono $n \in {0,-1}$.
Dunque essendo il minimo limite il più piccolo tra i valori di aderenza si ha che $lim INf a_n = -1$ e il massimo limite quello più grande si ha che $ lim SUp a_n = 0$.
2) questa invece mi lascia perplesso.
Stessa richiesta di prima con $a_n = [sin n ] +1$ (con le parentesi quadre indico la parte intera).
Ma non riesco a trovare delle estratte opportune.. di fatto è già difficile trovare estratte convergenti del seno in $[-1,1]$. Non so come muovermi, idee?
Grazie mille.
1) $a_n = n sin(\pi/2 n ) ln(1+1/n)$
Mi scelgo due successioni di interi naturali tali che le loro immagini partizionino $NN$.
Scelgo $k_1(NN)= 2n$ e $k_2(NN)=2n+1$ e valuto $a_(k_1)=2nsin(\pin) ln(1+1/(2n)) = { sin(\pi n )= 0 , AA n \in NN} =0$ , si ha che $a_(k_1) -> 0$
$j_1 =0$ è di aderenza , in quanto esiste un estratta di $a_n$ convergente a $0$.
Valuto ora $a_(k_2)= - (2n+1) ln(1+1/(2n+1))$
Poiché la funzione reale $f(x)= -(2x+1)ln(1+1/(2x+1))$ converge a $-1$ per $x->+\infty => a_n -> -1$ (in quanto $a_n$ è la restrizione di $f$ ad $NN$)
dunque $j_2=-1$ è di aderenza.
Si ha inoltre, poiché scelte $k_1,k_2$ successioni di numeri naturali tali che le immagini partizionano $NN$ , che gli unici valori di aderenza di $a_n$ sono $n \in {0,-1}$.
Dunque essendo il minimo limite il più piccolo tra i valori di aderenza si ha che $lim INf a_n = -1$ e il massimo limite quello più grande si ha che $ lim SUp a_n = 0$.
2) questa invece mi lascia perplesso.
Stessa richiesta di prima con $a_n = [sin n ] +1$ (con le parentesi quadre indico la parte intera).
Ma non riesco a trovare delle estratte opportune.. di fatto è già difficile trovare estratte convergenti del seno in $[-1,1]$. Non so come muovermi, idee?
Grazie mille.
Risposte
Mi sa che questo esercizio ha poco a che vedere con quello di cui parlavi (dimostrare che l'insieme dei valori di aderenza di $\sin n$ è $[-1,1]$) in quanto a difficoltà 
Hai
\[
[\sin n]=\begin{cases}
0&\text{se}\ n\in[0+2k\pi, \pi+2k\pi[\\
-1&\text{se}\ n\in\, ]\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi[
\end{cases}
\]
e quindi, posto
\[A:=\mathbb{N}\cap\bigcup^{\infty}_k\, [0+2k\pi, \pi+2k\pi[ \qquad B:=\mathbb{N}\cap\bigcup^{\infty}_k \, ]\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi[\]
si ha $A\cap B= \emptyset$ e $A\cup B=NN$, quindi ti basta considerare le sottosuccessioni $\{a_n\}_{n\in A}=\{a_{"id"_A}\}$ e $\{a_n\}_{n\in B}=\{a_{"id"_B}\}$ di costante valore $1$ e $0$ rispettivamente.
Hai\[
[\sin n]=\begin{cases}
0&\text{se}\ n\in[0+2k\pi, \pi+2k\pi[\\
-1&\text{se}\ n\in\, ]\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi[
\end{cases}
\]
e quindi, posto
\[A:=\mathbb{N}\cap\bigcup^{\infty}_k\, [0+2k\pi, \pi+2k\pi[ \qquad B:=\mathbb{N}\cap\bigcup^{\infty}_k \, ]\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi[\]
si ha $A\cap B= \emptyset$ e $A\cup B=NN$, quindi ti basta considerare le sottosuccessioni $\{a_n\}_{n\in A}=\{a_{"id"_A}\}$ e $\{a_n\}_{n\in B}=\{a_{"id"_B}\}$ di costante valore $1$ e $0$ rispettivamente.
\[ [\sin n]=\begin{cases} 0&\text{se}\ n\in[0+2k\pi, \pi+2k\pi[\\ -1&\text{se}\ n\in\, ]\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi[ \end{cases} \]
Grande peppe! Ammetto che la questione era più semplice di quello che pensavo.
Dopo queste considerazioni , possiamo dire che $limINfa_n = 0$ e $lim sUp a_n = 1$
"Plepp":
Mi sa che questo esercizio ha poco a che vedere con quello di cui parlavi (dimostrare che l'insieme dei valori di aderenza di $\sin n$ è $[-1,1]$) in quanto a difficoltà
\[
[\sin n]=\begin{cases}
0&\text{se}\ n\in[0+2k\pi, \pi+2k\pi[\\
-1&\text{se}\ n\in\, ]\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi[
\end{cases}
\]
e quindi, posto
\[A:=\mathbb{N}\cap\bigcup^{\infty}_k\, [0+2k\pi, \pi+2k\pi[ \qquad B:=\mathbb{N}\cap\bigcup^{\infty}_k \, ]\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi[\]
si ha $A\cap B= \emptyset$ e $A\cup B=NN$, quindi ti basta considerare le sottosuccessioni $\{a_n\}_{n\in A}=\{a_{"id"_A}\}$ e $\{a_n\}_{n\in B}=\{a_{"id"_B}\}$ di costante valore $1$ e $0$ rispettivamente.
Grande peppe! Ammetto che la questione era più semplice di quello che pensavo.
Dopo queste considerazioni , possiamo dire che $limINfa_n = 0$ e $lim sUp a_n = 1$
@Kashaman: guardando meglio il primo esercizio - che ho appena svolto - non mi trovo coi tuoi conti. Posto
\[a_n:=n \cdot\sin\dfrac{\pi}{2}n\cdot \ln (1+1/n)=\sin\dfrac{\pi}{2}n\cdot \dfrac{\ln (1+1/n)}{1/n}\]
hai che
\[a_n:=n \cdot\sin\dfrac{\pi}{2}n\cdot \ln (1+1/n)=\sin\dfrac{\pi}{2}n\cdot \dfrac{\ln (1+1/n)}{1/n}\]
hai che
[*:2joorcis]$\{a_n\}_{n\in [0]_4}$ ha limite $0$;[/*:m:2joorcis]
[*:2joorcis]$\{a_n\}_{n\in [1]_4}$ ha limite $1$;[/*:m:2joorcis]
[*:2joorcis]$\{a_n\}_{n\in [2]_4}$ ha limite $0$;[/*:m:2joorcis]
[*:2joorcis]$\{a_n\}_{n\in [3]_4}$ ha limite $-1$.[/*:m:2joorcis][/list:u:2joorcis]
Quindi i valori di aderenza sono $1,0-1$.
@forum
"Plepp":
[...]
si ha $A\cap B= \emptyset$ e $A\cup B=NN$, quindi ti basta considerare le sottosuccessioni $\{a_n\}_{n\in A}=\{a_{"id"_A}\}$ e $\{a_n\}_{n\in B}=\{a_{"id"_B}\}$ di costante valore $1$ e $0$ rispettivamente.
Oggi ho fatto anch'io quest'esercizio: c'è una cosetta che non va. Stando alla definizione di estratta, per ottenerne una avremmo bisogno di un'applicazione - strettamente crescente - $k:NN\to NN$ da comporre con $a$. Ecco, stando alla definizione, $\{a_{"id"_A}\}$ non è effettivamente un'estratta di $\{a_n\}$, in quanto $"id"_A$ non va da $NN$ in $NN$ (stesso discorso vale per $\{a_{"id"_B}\}$). D'altra parte, essendo $A$ un sottoinsieme infinito di $NN$, allora - per definizione, se la assumiamo come tale - esiste un'applicazione biiettiva $k:NN\to A$, e se non sbaglio si dimostra che in particolare ne esiste una strettamente crescente, che è proprio quella che fa al caso nostro.
Confermate?
sai , ora che me lo fai notare , mi sa che c'hai ragione. Le applicazioni che hai considerato non sono delle vere e proprie successioni.
L'esistenza di una applicazione biettiva da $NN$ in $A$ è sicura, se non sbaglio i tuoi insiemi ed $NN$ sono equipotenti.
Che poi si possa definire un'applicazione strettamente crescente e che sia biettiva, anche questo penso sia possibile.
Parlando un po da profano ti dico la mia idea, è molto alla buona, la dico per rendere l'idea, non come vera dimostrazione :
Sappiamo che $A$ è equipotente a $NN$ quindi A è un insieme numerabile. (bisognerebbe provarlo, diamolo per vero)
Se $a_0,a_1,a_2,......,a_n,........,$ sono gli elementi di $A$, i quali posso elencarli per la numerabilità, possiamo immaginare di ordinare gli elementi di $A$ , ad esempio abbiamo che
$a_0
Prendendo l'applicazione $f : NN -> NN $ t.c $f(n)=a_n$ si ha che $f$ è strettamente crescente e bigettiva.
$f$ quindi potrebbe essere una papabile estratta.
PS :
Comunque penso che a questo punto l'esercizio si risolva per altra via.. questa strada è un po tortuosa,
Fammi sapere che ne pensi , vedi se può esser utile la mia idea e , in caso affermativo , di formalizzarla meglio.
L'esistenza di una applicazione biettiva da $NN$ in $A$ è sicura, se non sbaglio i tuoi insiemi ed $NN$ sono equipotenti.
Che poi si possa definire un'applicazione strettamente crescente e che sia biettiva, anche questo penso sia possibile.
Parlando un po da profano ti dico la mia idea, è molto alla buona, la dico per rendere l'idea, non come vera dimostrazione :
Sappiamo che $A$ è equipotente a $NN$ quindi A è un insieme numerabile. (bisognerebbe provarlo, diamolo per vero)
Se $a_0,a_1,a_2,......,a_n,........,$ sono gli elementi di $A$, i quali posso elencarli per la numerabilità, possiamo immaginare di ordinare gli elementi di $A$ , ad esempio abbiamo che
$a_0
Prendendo l'applicazione $f : NN -> NN $ t.c $f(n)=a_n$ si ha che $f$ è strettamente crescente e bigettiva.
$f$ quindi potrebbe essere una papabile estratta.
PS :
Comunque penso che a questo punto l'esercizio si risolva per altra via.. questa strada è un po tortuosa,
Fammi sapere che ne pensi , vedi se può esser utile la mia idea e , in caso affermativo , di formalizzarla meglio.
Comunque penso che a questo punto l'esercizio si risolva per altra via.. questa strada è un po tortuosa,
Fammi sapere che ne pensi , vedi se può esser utile la mia idea e , in caso affermativo , di formalizzarla meglio.
In effetti...quand'è ci ragiono un po'.
Comunque sì, l'idea è fondamentalmente quella. Io definirei l'applicazione - diciamola $k$ - per induzione. Porrei $A_k:=\{n\in A|n\ge i\}$ per ogni $i\in NN$, e poi
\[k_0:=\min A_0=\min A\qquad k_{n+1}:=\min A_{k_n}\]
Così dovrebbe andare.
P.S. Ho modificato l'ultimo post, ho qualcosa per te
EDIT: ho scritto una cagata
quella successione può essere costante. Bisogna definire $A_i$ per $i>0$ come $\{n\in A|n>i\}$ e poi $k_0:="min" A$.
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