Valore principale di Cauchy
Ciao a tutti... Frequento ingegneria e su un libro di teoria dei segnali ho incontrato la notazione di integrale esteso a tutta la retta reale. D'acchitto io l'avrei interpretato come integrale improprio, ma una nota a piè di pagina mi dice di intenderlo come valore principale di Cauchy. Non avendo mai incontrato in altri corsi questo valore principale, mi chiedo:
- è corretto che la stessa identica notazione abbia due interpretazione diverse (e quindi porti a due calcoli diversi)?
- qual è la definizione di valore principale di Cauchy e come se ne esegue il calcolo (che è quello che mi interessa di piu)?
Grazie dell'aiuto!
- è corretto che la stessa identica notazione abbia due interpretazione diverse (e quindi porti a due calcoli diversi)?
- qual è la definizione di valore principale di Cauchy e come se ne esegue il calcolo (che è quello che mi interessa di piu)?
Grazie dell'aiuto!
Risposte
Ho una vaga idea. Ma non sono sicuro che sia giusta.
Consideriamo la funzione $f(x) = 1/x$ definita in $[-1,0) cup (0,1]$.
Ovviamente $f$ non è integrabile secondo Riemann in $[-1,0) cup (0,1]$ perché non è limitata in tale insieme.
Inoltre non è neanche integrabile in senso improprio (o generalizzato) in $[-1,0) cup (0,1]$, perché se lo fosse dovrebbe essere integrabile in senso improprio separatamente nei due intervalli $[-1,0)$ e $(0,1]$; ma $f$ non è integrabile in senso improprio in questi due intervalli: ad esempio per $(0,1]$
$int_0^1 1/x dx := lim_(epsilon -> 0^+) int_epsilon^1 1/x dx = lim_(epsilon -> 0^+) ln |x| |_epsilon^1 = lim_(epsilon -> 0^+) [ln 1 - ln epsilon] = + oo$
Allo stesso modo per l'intervallo $[-1,0)$.
D'altra parte se noi erroneamente calcolassimo:
$int_(-1)^1 1/x dx = ln |x| |_(-1)^1 = ln 1 - ln 1 = 0$
e questo si dice valore principale di Cauchy.
Consideriamo la funzione $f(x) = 1/x$ definita in $[-1,0) cup (0,1]$.
Ovviamente $f$ non è integrabile secondo Riemann in $[-1,0) cup (0,1]$ perché non è limitata in tale insieme.
Inoltre non è neanche integrabile in senso improprio (o generalizzato) in $[-1,0) cup (0,1]$, perché se lo fosse dovrebbe essere integrabile in senso improprio separatamente nei due intervalli $[-1,0)$ e $(0,1]$; ma $f$ non è integrabile in senso improprio in questi due intervalli: ad esempio per $(0,1]$
$int_0^1 1/x dx := lim_(epsilon -> 0^+) int_epsilon^1 1/x dx = lim_(epsilon -> 0^+) ln |x| |_epsilon^1 = lim_(epsilon -> 0^+) [ln 1 - ln epsilon] = + oo$
Allo stesso modo per l'intervallo $[-1,0)$.
D'altra parte se noi erroneamente calcolassimo:
$int_(-1)^1 1/x dx = ln |x| |_(-1)^1 = ln 1 - ln 1 = 0$
e questo si dice valore principale di Cauchy.
Supponiamo che $f:[a,b]\to \RR$ sia limitata in $[a,b]\setminus \{ x_0\}$ (con $x_0\in ]a,b[$) ed integrabile su ogni compatto contenuto in $[a,b]$ non contenente $x_0$.
Secondo Riemann, l'integrale improprio di $f$, cioè $\int_a^b f(x)" d"x$, esiste se e solo se esistono i due limiti:
$\lim_(\epsilon\to 0^+) \int_a^(x_0-\epsilon) f(x)" d"x \quad$ e $\quad \lim_(\delta\to 0^+) \int_(x_0+\delta)^b f(x)" d"x$
e se non sono uno uguale a $+oo$ e l'altro uguale a $-oo$; in tal caso l'integrale improprio di Riemann di $f$ esteso ad $[a,b]$ è per definizione la somma dei due limiti, ossia:
$\int_a^b f(x)" d"x := \lim_(\epsilon\to 0^+) \int_a^(x_0-\epsilon) f(x)" d"x + \lim_(\delta\to 0^+) \int_(x_0+\delta)^b f(x)" d"x \quad$;
nota in particolare che le due variabili di limite devono essere diverse e libere di variare indipendentemente l'una dall'altra.
L'integrale a valore principale di Cauchy, invece, si definisce sempre con un procedimento di limite epperò viene espressamente richiesto che le due variabili di limite coincidano: invero si ha per definizione:
$"PV"\int_a^b f(x)" d"x:= \lim_(\epsilon\to 0^+) \int_a^(x_0-\epsilon) f(x)" d"x + \int_(x_0+\epsilon)^b f(x)" d"x \quad$.
Nota che se l'integrale improprio di Riemann esiste, allora esiste pure l'integrale a valor principale di Cauchy ed essi coincidono; viceversa, l'esistenza dell'integrale a valor principale di Cauchy non implica l'esistenza dell'integrale improprio di Riemann.
Secondo Riemann, l'integrale improprio di $f$, cioè $\int_a^b f(x)" d"x$, esiste se e solo se esistono i due limiti:
$\lim_(\epsilon\to 0^+) \int_a^(x_0-\epsilon) f(x)" d"x \quad$ e $\quad \lim_(\delta\to 0^+) \int_(x_0+\delta)^b f(x)" d"x$
e se non sono uno uguale a $+oo$ e l'altro uguale a $-oo$; in tal caso l'integrale improprio di Riemann di $f$ esteso ad $[a,b]$ è per definizione la somma dei due limiti, ossia:
$\int_a^b f(x)" d"x := \lim_(\epsilon\to 0^+) \int_a^(x_0-\epsilon) f(x)" d"x + \lim_(\delta\to 0^+) \int_(x_0+\delta)^b f(x)" d"x \quad$;
nota in particolare che le due variabili di limite devono essere diverse e libere di variare indipendentemente l'una dall'altra.
L'integrale a valore principale di Cauchy, invece, si definisce sempre con un procedimento di limite epperò viene espressamente richiesto che le due variabili di limite coincidano: invero si ha per definizione:
$"PV"\int_a^b f(x)" d"x:= \lim_(\epsilon\to 0^+) \int_a^(x_0-\epsilon) f(x)" d"x + \int_(x_0+\epsilon)^b f(x)" d"x \quad$.
Nota che se l'integrale improprio di Riemann esiste, allora esiste pure l'integrale a valor principale di Cauchy ed essi coincidono; viceversa, l'esistenza dell'integrale a valor principale di Cauchy non implica l'esistenza dell'integrale improprio di Riemann.
Si si, ora mi è tornato alla mente.. E' esattamente come dice Gugo82! E comunque l'esempio che ho fatto io continua a fare 0:
$int_(-1)^1 1/x dx = lim_(epsilon to 0^+) [int_(-1)^(-epsilon) 1/x dx + int_epsilon^1 1/x dx] = lim_(epsilon to 0^+) [ln epsilon - ln 1 + ln 1 - ln epsilon] = 0$.
$int_(-1)^1 1/x dx = lim_(epsilon to 0^+) [int_(-1)^(-epsilon) 1/x dx + int_epsilon^1 1/x dx] = lim_(epsilon to 0^+) [ln epsilon - ln 1 + ln 1 - ln epsilon] = 0$.
Grazie a Gugo per la chiara spiegazione e a NightKnight per l'esempio! 
Però ora mi sorge un'altro dubbio, e per spiegarvelo entro nel caso specifico riportato dal mio libro:
- viene data la definizione di area di un segnale come $A = \int_-oo^(+oo) x(t)" d"t$
- poi una nota mi dice di calcolare questo integrale come Valore Principale di Cauchy, e per farlo mi fornisce questa espressione: $A = \lim_(T\to oo) \int_(-T)^(+T) x(t)" d"t$
Ma questa espressione non coincide con quella che ha riportato Gugo nella definizione di valore principale, o sbaglio?
Allora secondo voi come mi devo comportare per il calcolo? Ad esempio se dovessi calcolare l'area di $x(t) = \cos(2*pi*f_0*t) + \cos(4*pi*f_0*t)$ ??
Ciao
Però ora mi sorge un'altro dubbio, e per spiegarvelo entro nel caso specifico riportato dal mio libro:
- viene data la definizione di area di un segnale come $A = \int_-oo^(+oo) x(t)" d"t$
- poi una nota mi dice di calcolare questo integrale come Valore Principale di Cauchy, e per farlo mi fornisce questa espressione: $A = \lim_(T\to oo) \int_(-T)^(+T) x(t)" d"t$
Ma questa espressione non coincide con quella che ha riportato Gugo nella definizione di valore principale, o sbaglio?
Allora secondo voi come mi devo comportare per il calcolo? Ad esempio se dovessi calcolare l'area di $x(t) = \cos(2*pi*f_0*t) + \cos(4*pi*f_0*t)$ ??
Ciao
Vuol dire semplicemente che il "punto singolare" del segnale è all'infinito.
In questo caso, l'integrale improprio di Riemann $\int_(-oo)^(+oo) x(t)" d"t$ esiste se e solo se esistono entrambi i limiti:
$\lim_(T\to +oo) \int_(t_0)^T x(t) " d"t \quad$ e $\quad \lim_(\tau \to -oo) \int_\tau^(t_0) x(t)" d"t$
(qui $t_0 \in \RR$ è fissato) e se non sono l'uno pari a $+oo$ e l'altro uguale a $-oo$; in tal caso si pone per definizione:
$\int_(-oo)^(+oo) x(t) " d"t:=\lim_(T\to +oo) \int_(t_0)^T x(t) " d"t + \lim_(\tau \to -oo) \int_\tau^(t_0) x(t)" d"t=\lim_(\stackrel{T\to +oo}{\tau \to -oo}) \int_\tau^T x(t) " d"t \quad$.
Nota che le due variabili di limite $T,\tau$ variano indipendentemente l'una dall'altra.
L'integrale a valor principale di Cauchy si definisce con un limite analogo, solo che si prende $\tau=-T$: in tal modo hai per definizione:
$"PV" \int_(-oo)^(+oo)x(t)" d"t :=\lim_(T\to +oo) \int_(t_0)^T x(t) " d"t + \lim_(T \to +oo) \int_(-T)^(t_0) x(t)" d"t = \lim_(T\to +oo) \int_(-T)^T x(t) " d"t\quad$.
Ovviamente, anche in questo caso, se esiste l'integrale improprio di Riemann allora esiste pure l'integrale a valor principale di Cauchy, epperò non sempre vale il viceversa (ad esempio $x(t):=arctg t$ è dotata d'integrale a valor principale nullo pur non essendo integrabile secondo Riemann in senso improprio).
In questo caso, l'integrale improprio di Riemann $\int_(-oo)^(+oo) x(t)" d"t$ esiste se e solo se esistono entrambi i limiti:
$\lim_(T\to +oo) \int_(t_0)^T x(t) " d"t \quad$ e $\quad \lim_(\tau \to -oo) \int_\tau^(t_0) x(t)" d"t$
(qui $t_0 \in \RR$ è fissato) e se non sono l'uno pari a $+oo$ e l'altro uguale a $-oo$; in tal caso si pone per definizione:
$\int_(-oo)^(+oo) x(t) " d"t:=\lim_(T\to +oo) \int_(t_0)^T x(t) " d"t + \lim_(\tau \to -oo) \int_\tau^(t_0) x(t)" d"t=\lim_(\stackrel{T\to +oo}{\tau \to -oo}) \int_\tau^T x(t) " d"t \quad$.
Nota che le due variabili di limite $T,\tau$ variano indipendentemente l'una dall'altra.
L'integrale a valor principale di Cauchy si definisce con un limite analogo, solo che si prende $\tau=-T$: in tal modo hai per definizione:
$"PV" \int_(-oo)^(+oo)x(t)" d"t :=\lim_(T\to +oo) \int_(t_0)^T x(t) " d"t + \lim_(T \to +oo) \int_(-T)^(t_0) x(t)" d"t = \lim_(T\to +oo) \int_(-T)^T x(t) " d"t\quad$.
Ovviamente, anche in questo caso, se esiste l'integrale improprio di Riemann allora esiste pure l'integrale a valor principale di Cauchy, epperò non sempre vale il viceversa (ad esempio $x(t):=arctg t$ è dotata d'integrale a valor principale nullo pur non essendo integrabile secondo Riemann in senso improprio).
Ok ora mi è chiaro!!
Grazie Gugo, sei in gamba! Ora mi do agli eserizi, ciaooo
Grazie Gugo, sei in gamba! Ora mi do agli eserizi, ciaooo
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