Valore minimo della costante per verificare disequazione
Un saluto a tutti.
Sto svolgendo gli esercizi proposti dal testo di Enrico Giusti, "Esercizi e Complementi di Analisi" vol. 1.
Non ho idea di come svolgere il seguente e cosa studiare per risolverlo:
Trovare il più piccolo valore della costante $\alpha$ per cui valgono le disuguaglianze:
$6xy <= 4x^2 + \alpha y^2$
Come già detto sopra non so nemmeno quale argomento rivedere. Devo sottolineare che uso il Soardi per la teoria e quindi i riferimenti del Giusti sono vani.
Sto svolgendo gli esercizi proposti dal testo di Enrico Giusti, "Esercizi e Complementi di Analisi" vol. 1.
Non ho idea di come svolgere il seguente e cosa studiare per risolverlo:
Trovare il più piccolo valore della costante $\alpha$ per cui valgono le disuguaglianze:
$6xy <= 4x^2 + \alpha y^2$
Come già detto sopra non so nemmeno quale argomento rivedere. Devo sottolineare che uso il Soardi per la teoria e quindi i riferimenti del Giusti sono vani.
Risposte
Fondamentalmente, studio di funzione, forse… Ma anche disuguaglianze elementari.
Però, più che cose specifiche, ti serve conoscere un po’ di tecnica.
Innanzitutto, nota che deve essere $alpha >0$ (perché?).
Osserva che la disuguaglianza vale in automatico se $x$ ed $y$ sono discordi o se almeno uno dei due è nullo (perché?); quindi ti basta ragionare per $x$ ed $y$ concordi e non nulli.
Inoltre, la cosa vale per $x,y<0$ se e solo se vale per $x,y>0$ (di nuovo, perché?); quindi ti basta ragionare per $x,y>0$.
Visto che $y>0$, puoi dividere la disuguaglianza m.a.m. per $y$ ed ottenere una disuguaglianza equivalente che coinvolge l’unica variabile $t=x/y >0$; dunque il valore di $alpha$ che ti interessa è il massimo di un’opportuna funzione di $t$ definita in $]0,+oo[$ (quale funzione? Perché?).
Risolto il problema di massimo, hai finito.
Però, più che cose specifiche, ti serve conoscere un po’ di tecnica.
Innanzitutto, nota che deve essere $alpha >0$ (perché?).
Osserva che la disuguaglianza vale in automatico se $x$ ed $y$ sono discordi o se almeno uno dei due è nullo (perché?); quindi ti basta ragionare per $x$ ed $y$ concordi e non nulli.
Inoltre, la cosa vale per $x,y<0$ se e solo se vale per $x,y>0$ (di nuovo, perché?); quindi ti basta ragionare per $x,y>0$.
Visto che $y>0$, puoi dividere la disuguaglianza m.a.m. per $y$ ed ottenere una disuguaglianza equivalente che coinvolge l’unica variabile $t=x/y >0$; dunque il valore di $alpha$ che ti interessa è il massimo di un’opportuna funzione di $t$ definita in $]0,+oo[$ (quale funzione? Perché?).
Risolto il problema di massimo, hai finito.
Se $x$ è nullo allora $\alpha$ deve essere non negativo. Se $y$ è nullo allora la disuguaglianza è vera $\forall x$. Se $x$ e $y$ sono di segno discorde deve essere che $\alpha$ è positivo o nullo oppure $6xy - \alpha y^2 < 4x^2$. Se $x$ e $y$ sono di segno concorde rimane il problema.
Non capisco a cosa tu stia rispondendo...
Partiamo da $6x<=4x^2+\alpha y^2$.
Portando tutto a destra puoi accorgerti che sostituendo al posto di $\alpha$ $9/4$ ottieni il quadrato di binomio $4x^2+\alpha y^2-6xy$. Ora, riprendi l'equazione di partenza e aggiungi a destra e a sinistra la quantità "$-4x^2-9/4y^2$". Otterrai:
$-4x^2-9/4 y^2+6xy<=\alpha y^2- 9/4 y^2$. Da cui:
$-(4x^2+ 9/4 y^2-6xy)<=y^2(\alpha-9/4)$.
$-((2x-3/2 y)/y)^2<=\alpha-9/4$.
Il membro a sinistra è sempre minore o al più uguale a 0 quando $2x=3/2y$, cioè quando $x=3/4y$.
Quindi la disuguaglianza è soddisfatta se $\alpha-9/4>=0$, cioè quando $\alpha>=9/4$.
[xdom="Raptorista"]Per questa volta ho aggiustato io le formule. Attenzione la prossima volta![/xdom]
Portando tutto a destra puoi accorgerti che sostituendo al posto di $\alpha$ $9/4$ ottieni il quadrato di binomio $4x^2+\alpha y^2-6xy$. Ora, riprendi l'equazione di partenza e aggiungi a destra e a sinistra la quantità "$-4x^2-9/4y^2$". Otterrai:
$-4x^2-9/4 y^2+6xy<=\alpha y^2- 9/4 y^2$. Da cui:
$-(4x^2+ 9/4 y^2-6xy)<=y^2(\alpha-9/4)$.
$-((2x-3/2 y)/y)^2<=\alpha-9/4$.
Il membro a sinistra è sempre minore o al più uguale a 0 quando $2x=3/2y$, cioè quando $x=3/4y$.
Quindi la disuguaglianza è soddisfatta se $\alpha-9/4>=0$, cioè quando $\alpha>=9/4$.
[xdom="Raptorista"]Per questa volta ho aggiustato io le formule. Attenzione la prossima volta![/xdom]
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