Valore massimo e minimo della funzione con due variabili
Salve avrei un dubbio sulla domanda di questo esercizio:
Sia f: R^2 -> R, f(x,y)= exp(2x^2-xy+y^2)
La prima domanda chiede di trovare i punti stazionari e dire se max, min o sella. Facendo analisi ho trovato che il punto (0, 0) è un punto di minimo locale.
La seconda domanda dice: Determinare il valore massimo e il valore minimo assunto dalla funzione f nella chiusura Ω del dominio con Ω={(x, y) ∈ R^2: 0 < x < 2 , 0 < y < −x(x − 2)}
Il mio ragionamento sulla seconda domanda è che il dominio della funzione è ridotto a Ω e verifico se il punto di minimo che ho trovato precedentemente sta ancora nel dominio nuovo se si allora la f assume il valore minimo in quel punto. Se il mio ragionamento è corretto allora chiedo come si trova il valore massimo e se il punto di minimo che ho trovato non sta del dominio nuovo come procedo a trovare il valore minimo.
Sia f: R^2 -> R, f(x,y)= exp(2x^2-xy+y^2)
La prima domanda chiede di trovare i punti stazionari e dire se max, min o sella. Facendo analisi ho trovato che il punto (0, 0) è un punto di minimo locale.
La seconda domanda dice: Determinare il valore massimo e il valore minimo assunto dalla funzione f nella chiusura Ω del dominio con Ω={(x, y) ∈ R^2: 0 < x < 2 , 0 < y < −x(x − 2)}
Il mio ragionamento sulla seconda domanda è che il dominio della funzione è ridotto a Ω e verifico se il punto di minimo che ho trovato precedentemente sta ancora nel dominio nuovo se si allora la f assume il valore minimo in quel punto. Se il mio ragionamento è corretto allora chiedo come si trova il valore massimo e se il punto di minimo che ho trovato non sta del dominio nuovo come procedo a trovare il valore minimo.
Risposte
Ciao MatteoMalatan,
Benvenuto sul forum!
Attenzione che parla della chiusura di $\Omega $, cioè devi considerare il bordo di
$\bar \Omega = {(x, y) \in \RR^2: 0 \le x \le 2 , 0 \le y \le −x(x − 2)} $
Quindi il punto di minimo $O(0,0) $ che hai già trovato va bene, devi vedere cosa accade sul bordo, cioè sull'asse $x$ (di equazione $y = 0$) e sulla parabola di equazione $y = - x(x - 2) $ per $0 \le x \le 2$
Benvenuto sul forum!
"MatteoMalatan":
Determinare il valore massimo e il valore minimo assunto dalla funzione f nella chiusura Ω del dominio con Ω={(x, y) ∈ R^2: 0 < x < 2 , 0 < y < −x(x − 2)}
Attenzione che parla della chiusura di $\Omega $, cioè devi considerare il bordo di
$\bar \Omega = {(x, y) \in \RR^2: 0 \le x \le 2 , 0 \le y \le −x(x − 2)} $
Quindi il punto di minimo $O(0,0) $ che hai già trovato va bene, devi vedere cosa accade sul bordo, cioè sull'asse $x$ (di equazione $y = 0$) e sulla parabola di equazione $y = - x(x - 2) $ per $0 \le x \le 2$
Mi potresti spiegare come si fa? Cioè dato queste due condizioni di x e y come trovo il max e min di f nell'Ω?
Ciao proviamo a vedere come si fa a "camminare" lungo l asse $x$, come ti ha detto pillo tale retta ha equazione $y=0$
Pertanto
$f(x,0)=e^(2x^2) $
Questa funzione è crescente nell intervallo considerato, cioè è tanto più grande quanto più è grande $x$, che se non sbaglio nel nostro insieme può essere al massimo $sqrt2$
Dunque camminando su questo pezzo di bordo saliamo partendo da 1 e andiamo sempre più su, ci fermiamo dove finisce $Omega$.
Quindi nel punto $P(sqrt2, 0)$ la nostra funzione varrà $e^4$.
Puoi provare a vedere cosa succede lungo l asse y?
Pertanto
$f(x,0)=e^(2x^2) $
Questa funzione è crescente nell intervallo considerato, cioè è tanto più grande quanto più è grande $x$, che se non sbaglio nel nostro insieme può essere al massimo $sqrt2$
Dunque camminando su questo pezzo di bordo saliamo partendo da 1 e andiamo sempre più su, ci fermiamo dove finisce $Omega$.
Quindi nel punto $P(sqrt2, 0)$ la nostra funzione varrà $e^4$.
Puoi provare a vedere cosa succede lungo l asse y?
"MatteoMalatan":
come trovo il max e min di f nell'Ω?
Il dominio naturale della funzione proposta è $D = \RR^2$ e $\Omega \subset D $, per cui imponendo $\nabla f = 0 $ e trovando il punto $O(0,0) $, che è un punto di minimo e si ha $z_O = f(0,0) = 1 $, hai già fatto quello che dovevi fare: ora devi vedere i massimi e i minimi vincolati alla frontiera di $\Omega $.
Per fare questo devi prendere la funzione proposta $z = f(x,y)= exp(2x^2-xy+y^2) $ e considerarla per $y = 0 $. La funzione diventa $f(x, 0) = exp(2x^2) $, che ovviamente per $x = 0 $ ti restituisce il punto di minimo che hai già trovato, ed è crescente, quindi il suo massimo si troverà per $x = 2$: $f(2, 0) = exp(2 \cdot 2^2) = e^8$, che così ad occhio sembra proprio un punto di massimo...
A questo punto ti rimane da esaminare cosa accade sulla parabola, cioè per $y = 2x - x^2$: incidentalmente possiamo dire che tale parabola ha un massimo nel suo vertice $V(1, 1) $ ed in tale punto si ha $z_V = f(1, 1) = e $
Sostituendo $y = 2x - x^2$ nella funzione proposta si ha:
$z(x) = f(x, 2x - x^2) = exp(2x^2 - x(2x - x^2) + (2x - x^2)^2) = exp(x^3 + 4x^2 + x^4 - 4x^3) = $
$ = exp(x^4 - 3x^3 + 4x^2) $
Studiando $z'(x) > 0 $ si ritrova il punto di minimo $O(0, 0) $ che hai già ottenuto.
Grazie per la risposta addesso in un esercizio del genere:
Sia f: R^2 -> R, f(x,y)= x^2y+2x^2+xy^2-7x
e dato Ω={(x, y) ∈ R^2: x>0, y>0, x+y<1}
quindi la chiusura dell'Ω diventa Ω = {(x, y) ∈ R^2: x>=0, y>=0, x+y<=1}
Seguendo lo stesso ragionamento cioè devo vedere cosa succede lungo l'asse x e lungo l'asse y.
Per l'asse x, pongo y = 1-x (dalla condizione x + y = 1) e quindi f(x, 1-x) = x(x-6) dato che il valore minimo che assume x è 0 quindi la f assume 0 come il valore minimo nel punto (0, 1). E il valore massimo come lo determino?
Sia f: R^2 -> R, f(x,y)= x^2y+2x^2+xy^2-7x
e dato Ω={(x, y) ∈ R^2: x>0, y>0, x+y<1}
quindi la chiusura dell'Ω diventa Ω = {(x, y) ∈ R^2: x>=0, y>=0, x+y<=1}
Seguendo lo stesso ragionamento cioè devo vedere cosa succede lungo l'asse x e lungo l'asse y.
Per l'asse x, pongo y = 1-x (dalla condizione x + y = 1) e quindi f(x, 1-x) = x(x-6) dato che il valore minimo che assume x è 0 quindi la f assume 0 come il valore minimo nel punto (0, 1). E il valore massimo come lo determino?
"MatteoMalatan":
Per l'asse x, pongo y = 1-x
No, per l'asse $x$ poni $y = 0 $ (equazione dell'asse $x$), per l'asse $y$ poni $x = 0 $ (equazione dell'asse $y$) e poi poni $y = 1 - x$
Ciao Matteo
Ti vedo attivo e abbastanza capace a scrivere le formule, ti basterebbe mettere il segno del dollaro All inizio e alla fine è tutto risulterebbe più leggibile.
Se hai dubbi clicca su formule nel box rosa in alto, trovi anche il regolamento (leggerlo non dovrebbe prenderti molto tempo)
Nella domanda precedente ho equivocato $sqrt2$, con $2$
Spero tu abbia capito comunque il senso.
Ti vedo attivo e abbastanza capace a scrivere le formule, ti basterebbe mettere il segno del dollaro All inizio e alla fine è tutto risulterebbe più leggibile.
Se hai dubbi clicca su formule nel box rosa in alto, trovi anche il regolamento (leggerlo non dovrebbe prenderti molto tempo)
Nella domanda precedente ho equivocato $sqrt2$, con $2$
Spero tu abbia capito comunque il senso.
"MatteoMalatan":
Grazie per la risposta addesso in un esercizio del genere:
Sia f: R^2 -> R, f(x,y)= x^2y+2x^2+xy^2-7x
e dato Ω={(x, y) ∈ R^2: x>0, y>0, x+y<1}
.....
quindi la f assume 0 come il valore minimo nel punto (0, 1). E il valore massimo come lo determino?
Secondo me la nostra funzione può assumere valori anche negativi (quindi più piccoli di 0)
Ad esempio nel punto $P(1;0)$ quanto vale la nostra funzione?
$f(1;0)=...$
Per asse x pongo $y = 0$, quindi $f(x,0) = 2x^2-7x = x(2x-7)$ avendo posto $y = 0$ posso dire che $x$ assume il valore tra $[0, 1]$
se x = 1 allora $f(1, 0) = -5$
se x = 0 allora $f(0, 0) = 0$.
Per asse y pongo $x = 0$, quindi $f(0,y) = 0$ questo vuol dire che la funzione non dipende da $y$ lungo l'asse $x$?
Poi pongo $y=1-x$, quindi $f(x,1-x) = x^2(1-x) + 2x^2 + x(1-x)^2 - 7x = x(x-6)$ come vado avanti da qui?
se x = 1 allora $f(1, 0) = -5$
se x = 0 allora $f(0, 0) = 0$.
Per asse y pongo $x = 0$, quindi $f(0,y) = 0$ questo vuol dire che la funzione non dipende da $y$ lungo l'asse $x$?
Poi pongo $y=1-x$, quindi $f(x,1-x) = x^2(1-x) + 2x^2 + x(1-x)^2 - 7x = x(x-6)$ come vado avanti da qui?
"MatteoMalatan":
quindi $f(x,0)=2x^2−7x=x(2x−7)$ avendo posto $y=0$ posso dire che $x$ assume il valore tra $[0,1]$
No. Hai trovato la funzione $f(x,0)=2x^2−7x=x(2x−7)$, che è una parabola con la concavità verso l'alto, il cui vertice è un punto di minimo della funzione proposta: $V(7/4, - 49/8) $
"MatteoMalatan":
se $x = 1$ allora $f(1,0)=−5$
se $x = 0$ allora $f(0,0)=0$
Sì, ma non è che ti serva un gran che...
Per la verità, essendo $z = f(x, y) = x^2 y+2x^2+xy^2-7x $, per qualsiasi $y$ si ha $f(0, y) = 0 $
"MatteoMalatan":
Poi pongo $y=1−x$, quindi $f(x,1−x)=x^2(1−x)+2x^2+x(1−x)^2−7x = x(x - 6)$
Sì. Si tratta di un'altra parabola con la concavità verso l'alto, il cui vertice $M(3, - 9) $ è un punto di minimo vincolato alla retta $y = 1 - x$ per la funzione proposta: $z_M = f(3, - 2) = 3^2 (-2) + 2(3)^2 + 3(-2)^2 - 7 \cdot 3 = 12 - 21 = - 9$
"pilloeffe":
[quote="MatteoMalatan"]quindi $f(x,0)=2x^2−7x=x(2x−7)$ avendo posto $y=0$ posso dire che $x$ assume il valore tra $[0,1]$
No. Hai trovato la funzione $f(x,0)=2x^2−7x=x(2x−7)$, che è una parabola con la concavità verso l'alto, il cui vertice è un punto di minimo della funzione proposta: $V(7/4, - 49/8) $
"MatteoMalatan":
se $x = 1$ allora $f(1,0)=−5$
se $x = 0$ allora $f(0,0)=0$
Sì, ma non è che ti serva un gran che...
Per la verità, essendo $z = f(x, y) = x^2 y+2x^2+xy^2-7x $, per qualsiasi $y$ si ha $f(0, y) = 0 $
"MatteoMalatan":
Poi pongo $y=1−x$, quindi $f(x,1−x)=x^2(1−x)+2x^2+x(1−x)^2−7x = x(x - 6)$
Sì. Si tratta di un'altra parabola con la concavità verso l'alto, il cui vertice $M(3, - 9) $ è un punto di minimo vincolato alla retta $y = 1 - x$ per la funzione proposta: $z_M = f(3, - 2) = 3^2 (-2) + 2(3)^2 + 3(-2)^2 - 7 \cdot 3 = 12 - 21 = - 9$[/quote]
Non ci ho pensato di vederla come una parabola. Ora ho capito. Grazie mille.
Ciao
Non è necessario citare l intero post di pillo, anzi ciò appesantisce il thread
Puoi rimuovere la citazione e lasciare i ringraziamenti, usa il tasto modifica il alto a destra.
Ti senti pronto per un esercizio di questo tipo?
Sei in grado di applicare i consigli di pillo in un altra situazione?
Non è necessario citare l intero post di pillo, anzi ciò appesantisce il thread
Puoi rimuovere la citazione e lasciare i ringraziamenti, usa il tasto modifica il alto a destra.
Ti senti pronto per un esercizio di questo tipo?
Sei in grado di applicare i consigli di pillo in un altra situazione?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo