Valore intermedio
Ciao!
Ho una domanda sul teorema dei valori intermedi:
questo teorema dice ke per una funzione continua f: [a,b]->IR abbiamo che per ogni K con f(a) < K < f(b) , esiste j tale che f(j) = K.
Il mio dubbio è: questo teorema non potrebbe essere automaticamente allargato a ogni K con f(xm) < K < f(xM) dove xm e xM son il minimo e massimo in [a,b] (che sappiamo che esistono visto che è una continua su un compatto..)
Mi sembrerebbe abbastanza logica come cosa...visto che per provarlo basterebbe considerare la restrizione della funzione su [xm,xM].
Non sarebbe più generale avere un teorema rispetto ai massimi/minimi?
Grazie!
L.L
Ho una domanda sul teorema dei valori intermedi:
questo teorema dice ke per una funzione continua f: [a,b]->IR abbiamo che per ogni K con f(a) < K < f(b) , esiste j tale che f(j) = K.
Il mio dubbio è: questo teorema non potrebbe essere automaticamente allargato a ogni K con f(xm) < K < f(xM) dove xm e xM son il minimo e massimo in [a,b] (che sappiamo che esistono visto che è una continua su un compatto..)
Mi sembrerebbe abbastanza logica come cosa...visto che per provarlo basterebbe considerare la restrizione della funzione su [xm,xM].
Non sarebbe più generale avere un teorema rispetto ai massimi/minimi?
Grazie!
L.L
Risposte
Per un momento chiamiamo A il teorema su [a,b] e B quello
su [xm,xM] da te proposto .E' evidente che A implica B (A--->B)
ma che sia pure (B--->A) potrebbe non essere vero.
Supponiamo infatti che sia ain [xm,xM] tale che sia f(j)=K.Ma ,essendo per ipotesi a
[f(a),f(xm)] esista poi un j in [xm,xM] tale che
sia f(j)=H.
Almeno io vedo la cosa cosi':ci sono fior di analisti su questo
forum che possono smentire o confermare.
Ciao.
su [xm,xM] da te proposto .E' evidente che A implica B (A--->B)
ma che sia pure (B--->A) potrebbe non essere vero.
Supponiamo infatti che sia a
[f(a),f(xm)] esista poi un j in [xm,xM] tale che
sia f(j)=H.
Almeno io vedo la cosa cosi':ci sono fior di analisti su questo
forum che possono smentire o confermare.
Ciao.
Sinceramente B--->A mi sembrava più evidente dell'altra, perché:
se abbiamo che:
per ogni K in [f(xm),f(xM)] esiste un j in [xm,xM] tale che sia f(j)=K, allora vuol dire forzatamente ke per ogni K' in [f(a),f(b)] troveremo un j' in [a,b], visto che [f(a),f(b)] è un sottoinsieme di [f(xm),f(xM)].
In quello che hai scritto hai considerato che f(a)
Spero di nn aver detto troppe castronerie...Buona Notte!
L.L
se abbiamo che:
per ogni K in [f(xm),f(xM)] esiste un j in [xm,xM] tale che sia f(j)=K, allora vuol dire forzatamente ke per ogni K' in [f(a),f(b)] troveremo un j' in [a,b], visto che [f(a),f(b)] è un sottoinsieme di [f(xm),f(xM)].
In quello che hai scritto hai considerato che f(a)
Spero di nn aver detto troppe castronerie...Buona Notte!
L.L
Ciao.
Il Teorema da te enunciato (teorema dei valori intermedi o di tutti i valori) è un corollario del Teorema degli zeri ed è in verità più forte di quanto tu hai detto.
Il teorema afferma che data una funzione definita e continua in un intervallo I contenuto in R (intervallo non necessariamente chiuso e limitato), cioè f:I->R, f continua in I, allora la funzione assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e superiore di f(I),
cioè comunque si prenda k appartenente a (inf f, sup f) esite x appartenente a I tale che f(x)=k.
Ora, se tu aggiungi una ulteriore ipotesi, cioè dici che f è definita e continua in un compatto [a,b], per il teroema di Weierstrass la f ammette massimo e minimo in [a,b], ma per le proprietà di inf e sup, è ovvio che l'inf è il minimo e il sup è il massimo di f([a,b]).
Ciò che tu dici è quindi vero sicuramente se la funzione è definita e continua in un compatto come caso particolare del teorma più generale perchè il minimo è l'inf e il massimo è il sup di f([a,b]).
Spero di essere stato chiaro.
Ciao.
Il Teorema da te enunciato (teorema dei valori intermedi o di tutti i valori) è un corollario del Teorema degli zeri ed è in verità più forte di quanto tu hai detto.
Il teorema afferma che data una funzione definita e continua in un intervallo I contenuto in R (intervallo non necessariamente chiuso e limitato), cioè f:I->R, f continua in I, allora la funzione assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e superiore di f(I),
cioè comunque si prenda k appartenente a (inf f, sup f) esite x appartenente a I tale che f(x)=k.
Ora, se tu aggiungi una ulteriore ipotesi, cioè dici che f è definita e continua in un compatto [a,b], per il teroema di Weierstrass la f ammette massimo e minimo in [a,b], ma per le proprietà di inf e sup, è ovvio che l'inf è il minimo e il sup è il massimo di f([a,b]).
Ciò che tu dici è quindi vero sicuramente se la funzione è definita e continua in un compatto come caso particolare del teorma più generale perchè il minimo è l'inf e il massimo è il sup di f([a,b]).
Spero di essere stato chiaro.
Ciao.
E' corretto quanto dice Leev, non e' possibile supporre f(a)
Si', il Teorema dei valori intermedi potrebbe anche essere generalizzato cosi', ma si preferisce tenere i due Teoremi separati, dal momento che porteranno, piu' avanti, a due punti di arrivo importanti e distinti: da una parte il Th di Weierstrass portera' al Th fondamentale di esistenza di massimi o minimi per funzioni continue su compatti (in realta' servira' anche meno, e il tutto funzionera' anche in dimensione infinita); dall'altra parte il Th dei valori intermedi servira' per arrivare alla connessione, e per dire che una funzione continua manda connessi in connessi.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Si', il Teorema dei valori intermedi potrebbe anche essere generalizzato cosi', ma si preferisce tenere i due Teoremi separati, dal momento che porteranno, piu' avanti, a due punti di arrivo importanti e distinti: da una parte il Th di Weierstrass portera' al Th fondamentale di esistenza di massimi o minimi per funzioni continue su compatti (in realta' servira' anche meno, e il tutto funzionera' anche in dimensione infinita); dall'altra parte il Th dei valori intermedi servira' per arrivare alla connessione, e per dire che una funzione continua manda connessi in connessi.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Sentivo di aver sbagliato qualcosa! Mi prostro umilmente...
Ciao.
Ciao.
Grazie ragazzi!!
A riguardo di quello che ha detto vincy però mi è sorta ancora una domanda:
il sup di una funzioen puo essere l'infinito?....oppure se è l'infinito, allora non si può chiamare sup?!
L.L
A riguardo di quello che ha detto vincy però mi è sorta ancora una domanda:
il sup di una funzioen puo essere l'infinito?....oppure se è l'infinito, allora non si può chiamare sup?!
L.L
Si, il sup puo' essere infinito. In tal caso non e' chiaramente un massimo.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Ahhhhhhhhhh, ora tutto quadra già di più
grazie luca
ciaooo
L.L
grazie luca
ciaooo
L.L
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo