Valore integrale curvilineo

[mikandrea]

Buongiorno,
ho un dubbio su un altro quesito assegnatomi come esercizio per casa dato che in classe non abbiamo mai affrontato un quesito simile.
Come posso calcolare il valore di \( \int_\gamma[(2x\cos y+z\sin y)\,dx+(xz\cos y-x^2\sin y)\,dy+x\sin y\,dz \) dove la curva è definita implicitamente da \( \gamma: \quad \{(x,y,z): \ x^2+y^2+z^2=4, \ \ x=y, \ \ z\ge0\}, \) percorsa nel verso delle x crescenti?
Grazie

[mikandrea]

"TeM":Dunque, siano dati un campo vettoriale \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) definito da \[ \mathbf{F}(x,\,y,\,z) := \left( 2\,x\,\cos y + z\,\sin y, \; x\,z\,\cos y - x^2\,\sin y, \; x\,\sin y \right), \] il cui insieme di definizione risulta essere \[ D = \dots \,, \] e un arco di curva di sostegno \[ \gamma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 4, \; x = y, \; z \ge 0 \right\} \] parametrizzabile in modo naturale come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(\theta) = \left( \dots, \; \dots, \; \dots \right), \; \; \; \text{per} \; \theta \in \left[\theta_i, \, \theta_f\right] \] ben definito in \(D\).



Per definizione, il lavoro \(ℒ\) di \(\mathbf{F}\) lungo \(\gamma\) è pari a
\[ ℒ_{\gamma}(\mathbf{F}) := \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot \text{d}\mathbf{r} = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)) \cdot \mathbf{r}'(\theta)\,\text{d}\theta = \dots
\]
Dal momento che, in casi come questo, l'applicazione della definizione è impegnativa, occorre dire una
preghierina e sperare di trovare facilmente una potenziale[nota]La cui esistenza è garantita se \(\nabla \land \mathbf{F} = \mathbf{0}\) in \(D\), insieme semplicemente connesso.[/nota] \(U\) tale che \(U \in C^2(D)\) e \(\mathbf{F} = \nabla U\) in \(D\).

In tal caso, per definizione, \(\mathbf{F}\) è conservativo in \(D\) e quindi, per un noto teorema, si ha
\[ ℒ_{\gamma}(\mathbf{F}) = \int_{\gamma} \nabla U \cdot \text{d}\mathbf{r} = U\left(\mathbf{r}\left(\theta_f\right)\right) - U\left(\mathbf{r}\left(\theta_i\right)\right),
\] che è indubbiamente un conto più tranquillo rispetto all'applicazione della definizione di lavoro.


In base a tutto ciò, studiati per bene le nozioni teoriche qui snocciolate e applicale.

Spero di non aver commesso errori

L'arco di curva di sostegno è parametrizzabile in modo naturale come
\( (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(\theta) = \left( \sqrt{2}*cos(\theta), \; \sqrt{2}*cos(\theta), \; 2sin(\theta) \right), \; \; \; \text{per} \; \theta \in \left[0, \, \pi\right] \)

Effettivamente questa applicazione \( ℒ_{\gamma}(\mathbf{F}) := \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot \text{d}\mathbf{r} = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)) \cdot \mathbf{r}'(\theta)\,\text{d}\theta \) risultava piuttosto laboriosa, Ho quindi trovato il potenziale \( U(x,y,z)=x^2 cos(y) +xzsin(y) + C \) e mi risulta che \( U\left(\mathbf{r}\left(0\right)\right) - U\left(\mathbf{r}\left(\pi\right)\right)=2cos(-\sqrt{2})-2cos(\sqrt{2})=0 \). Spero di non aver sbagliato dei passaggi.
Grazie

Edit: Ho verificato che il rotore=0