Valore estremi di una funzione a due variabili su un rettangolo

[giuliaturiano]

Si determino i valori estremi della funzione a due variabili
f(x,y)=xy
sul rettangolo [-1,1]x[-4,1/5]

Allora ho proceduto a derivare la funzione rispetto a x e y:
df/dx=y e df/dy=y
Ponendoli uguali a zero e mettendoli a sistema ho trovato il punto P(0,0) che calcolando la matrice Hessiana mi viene un punto di sella che dovrebbe far parte dell'intervallo del rettangolo.
Dopo questo non so più come proseguire.

[Bokonon]

Anche senza fare grandi calcoli, basta notare $f(x,y)$ è sempre positiva per valori di x e y nel primo e terzo quadrante. Ed è sempre negativa nel secondo e quarto quadrante.
Quindi avrà un massimo in (-1,-4) e un minimo in (1,-4).

Per uno studio analitico invece devi tagliare la curva lungo i bordi del rettangolo ponendo:
a) $x=+-1$ per $-4 b) $y=-4$ e $y=1/5$ per $-1

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[dissonance]

"Bokonon":Anche senza fare grandi calcoli, basta notare $f(x,y)$ è sempre positiva per valori di x e y nel primo e terzo quadrante. Ed è sempre negativa nel secondo e quarto quadrante.

Questo è vero.

Quindi avrà un massimo in (-1,-4) e un minimo in (1,-4).

Questo però bisogna dimostrarlo. Il fatto che la funzione sia positiva da una parte e negativa dall'altra non è sufficiente, ovviamente. Penso che tu intendessi che è solo una congettura, ma siccome non è molto chiaro ho voluto puntualizzare.

Per uno studio analitico invece devi tagliare la curva lungo i bordi del rettangolo ponendo:
a) $x=+-1$ per $-4 b) $y=-4$ e $y=1/5$ per $-1
Eh già.

[Bokonon]

"dissonance":Questo però bisogna dimostrarlo. Il fatto che la funzione sia positiva da una parte e negativa dall'altra non è sufficiente, ovviamente. Penso che tu intendessi che è solo una congettura, ma siccome non è molto chiaro ho voluto puntualizzare.

No, ho dato per scontata la seconda parte, ovvero che la funzione è il prodotto delle coordinate per cui è evidente più grandi sono X e Y più grande è il valore assoluto del prodotto.
Pertanto qualsiasi sia il rettangolo, il/i minimo/i e massimo/i vanno ricercati fra i vertici del rettangolo.