Valore di verità

[vfio]

Una domanda sulla derivabilita’:
Date due funzioni f(x) e g(x)
Se f(x) è derivabile e g(x) non è derivabile allora la differenza f(x)-g(x) non è derivabile.
Si deve utilizzare il limite del rapporto incrementale per dimostrarlo?

[Studente Anonimo]

"Vito25": Si deve utilizzare il limite del rapporto incrementale per dimostrarlo?

Puo' essere un modo. Puoi fare un po' per casi, utilizzando la definizione di derivabilita': per fissare le idee prendi un \( x_0 \in D_f \cap D_g \) con \( D_f, D_g \subseteq \mathbb{R}\) intervalli aperti. Allora \(g\) non e' derivabile in \(x_0\) se \[ \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \qquad (*) \]non esiste, o non esiste finito. Da qui guardi il rapporto incrementale \[ \frac{(f(x)-g(x)) - (f(x_0) - g(x_0))}{x-x_0} \qquad (**).\]Attenzione che quando \( (*)\) non esiste non puoi usare "somma dei limiti" = "limite della somma".

[vfio]

Non ho capito però come concludo che la differenza non è derivabile. Perché l’ultimo limite non dovrebbe esistere?

[Studente Anonimo]

"Vito25":Non ho capito però come concludo che la differenza non è derivabile. Perché l’ultimo limite non dovrebbe esistere?

Beh, fatti i casi. Se \( (*)\) va a \( \pm \infty \), cosa succede a \((**)\)? Se \( (*)\) non esiste (limitato/illimitato)?

[gugo82]

Senza alcun conto...

Ipotizziamo che, in un certo punto $x_0$ d'accumulazione per i domini di $f$ e $g$, la $f(x)$ risulti derivabile e $g(x)$ no.
Per assurdo, supponiamo che $h(x) := f(x) - g(x)$ sia derivabile in $x_0$; allora $g(x) = f(x) - h(x)$ sarebbe derivabile in $x_0$ per i teoremi base sulle derivate. Ma ciò è assurdo, perché per ipotesi $g$ non è derivabile in $x_0$.

P.S.: Ma il titolo cosa c'entra col post?
Sarebbe il caso di cambiarlo.