Valore di alpha per far convergere l'integrale
stabilire per quali $\alpha$ l'integrale converge
$\int_0^(+infty)(log(3+senx)x^alpha)/((x+x^(3/2))(sqrt(1+x^2)))dx$
secondo me l'integrale si approssima a $\int_0^(+infty)x^alpha/((x+x^(3/2))(sqrt(1+x^2))
giusto fino a qui??...poi dopo come si procede??al denominatore non so come si puo semplificare
$\int_0^(+infty)(log(3+senx)x^alpha)/((x+x^(3/2))(sqrt(1+x^2)))dx$
secondo me l'integrale si approssima a $\int_0^(+infty)x^alpha/((x+x^(3/2))(sqrt(1+x^2))
giusto fino a qui??...poi dopo come si procede??al denominatore non so come si puo semplificare
Risposte
Il fattore $ln(3+sinx)$ non dà problemi (è limitato in $[0,+oo[$), quindi puoi giustamente tralasciarlo.
Il problema è sia in $0$ (dove si annullano numeratore e parte del denominatore) sia in $+oo$ (poichè numeratore e denominatore sono infiniti).
Per determinare l'ordine d'infinito in $0$ devi mettere $x$ in evidenza al denominatore.
Per determinare l'ordine d'infinitesimo in $+oo$ devi mettere in evidenza $x^(3/2)$ e $x^2$ nei due fattori del denominatore.
Il problema è sia in $0$ (dove si annullano numeratore e parte del denominatore) sia in $+oo$ (poichè numeratore e denominatore sono infiniti).
Per determinare l'ordine d'infinito in $0$ devi mettere $x$ in evidenza al denominatore.
Per determinare l'ordine d'infinitesimo in $+oo$ devi mettere in evidenza $x^(3/2)$ e $x^2$ nei due fattori del denominatore.
il problema è che non riesco a mettere la x in evidenza aL denominatore:(
in altre parole questi esercizi con il parametro alpha non li ho propriop capiti come si fanno..
in altre parole questi esercizi con il parametro alpha non li ho propriop capiti come si fanno..
Per $x->0$ $x^alpha/(x(1+x^(1/2))(sqrt(1+x^2))$ che tende a $x^alpha/x=x^(alpha-1)$
Per $x->+oo$ $x^alpha/(x^(5/2)*(1/x^(1/2)+1)(sqrt(1/x^2+1))$ che tende a $x^alpha/x^(5/2)=x^(alpha-5/2)$
Per $x->+oo$ $x^alpha/(x^(5/2)*(1/x^(1/2)+1)(sqrt(1/x^2+1))$ che tende a $x^alpha/x^(5/2)=x^(alpha-5/2)$
"piccola88":
$\int_0^(+infty)x^alpha/((x+x^(3/2))(sqrt(1+x^2))
Partiamo da qui, che tanto basta.
Noti che in $0$ si annullano numeratore ed il fattore $x+x^(3/2)$ del denominatore, mentre il fattore $\sqrt(1+x^2)$ è convergente e, quindi, trascurabile. Rimaneggiamo un po' la frazione $x^alpha/(x+x^(3/2))$:
$x^alpha/(x+x^(3/2))=x^alpha/(x*(1+x^(1/2)))$
al secondo membro il fattore $1+x^(1/2)$ è convergente, quindi trascurabile, e bisogna andare a capire cosa succede a $x^alpha/x=1/x^(1-alpha)$; quando $x\to 0^+$ si ha:
$1/x^(1-alpha)\to \{(+oo, ", se " 0<= alpha<1),(1, ", se " alpha=1),(0, ", se "alpha>1):}$
inoltre quando $0<= alpha<1$ la funzione $1/x^(1-alpha)$ è un infinito d'ordine $p=1-alpha$.
Affinché l'integrale converga in $0$ basta che o $alpha >=1$ oppure che, se $0<= alpha <1$, risulti $p<1$ ossia $alpha >0$; ne viene che l'integrale converge in $0$ per ogni $alpha >0$.
In $+oo$ invece risultano infiniti tutti e tre i fattori della funzione integranda. Rimaneggiando un po' la frazione troviamo:
$x^alpha/((x+x^(3/2))*\sqrt(1+x^2))=x^alpha/(x^(3/2)*(1/x^(1/2)+1)*x*\sqrt(1/x^2+1))=1/(x^(5/2-alpha))*1/((1/x^(1/2)+1)*\sqrt(1/x^2+1))$
all'ultimo membro il fattore $1/((1/x^(1/2)+1)*\sqrt(1/x^2+1))$ è convergente e quindi trascurabile, cosicché bisogna andare a vedere cosa succede al fattore $1/(x^(5/2-alpha))$; quando $x\to +oo$ si ha:
$1/(x^(5/2-alpha)) \to \{(0, ", se " 0<= alpha < 5/2),(1, ", se " alpha = 5/2),(+oo, ", se " alpha > 5/2):}$
inoltre quando $0<= alpha < 5/2$ la funzione $1/(x^(5/2-alpha))$ è infinitesima d'ordine $P=5/2-alpha$.
Affinché l'integrale risulti convergente in $+oo$ occorre che sia $0<= alpha < 5/2$ e $P>1$, ossia $alpha < 3/2$; ne viene che il tuo integrale converge in $+oo$ per $0<= alpha <3/2$.
Mettendo insieme i due risultati, ottieni che il tuo integrale converge per $0< alpha <3/2$ (salvo errori).
Ovviamente ti prego di ricontrollare i calcoli.
Gugo82 penso che hai dato una spiegazione quasi perfetta ho capito un sacco di cose!!ora mi copio per bene la tua spiegazione e provo a farne uno io..
$x^alpha/(x+x^(3/2))=x^alpha/(x*(1+x^(1/2)))$
posso capire perchè hai fatto cosi e non $\x^alpha/(x^(3/2)(1/x^(1/2)+1)..
normalmente non si cerca di fattorizzare per il valore piu grande??
inoltre,mi è venuto un dubbio:
in un altro esercizio si deve lo stesso stabilire il valore di alpha per far convergere l'integrale..
$\int_0^(+infty)(-4x-6)/x^alpha dx$
nel caso in cui x tende a 3 ho che $\alpha-1<1
nel caso in cui x tende a $\infty$ ho che $\alpha-1>1
il procedimento svolto sul libro però indica direttamente che l'integrale converge soltanto per $\alpha-1<1
$x^alpha/(x+x^(3/2))=x^alpha/(x*(1+x^(1/2)))$
posso capire perchè hai fatto cosi e non $\x^alpha/(x^(3/2)(1/x^(1/2)+1)..
normalmente non si cerca di fattorizzare per il valore piu grande??
inoltre,mi è venuto un dubbio:
in un altro esercizio si deve lo stesso stabilire il valore di alpha per far convergere l'integrale..
$\int_0^(+infty)(-4x-6)/x^alpha dx$
nel caso in cui x tende a 3 ho che $\alpha-1<1
nel caso in cui x tende a $\infty$ ho che $\alpha-1>1
il procedimento svolto sul libro però indica direttamente che l'integrale converge soltanto per $\alpha-1<1
"piccola88":
Gugo82 penso che hai dato una spiegazione quasi perfetta ho capito un sacco di cose!!ora mi copio per bene la tua spiegazione e provo a farne uno io..
$x^alpha/(x+x^(3/2))=x^alpha/(x*(1+x^(1/2)))$
posso capire perchè hai fatto cosi e non $\x^alpha/(x^(3/2)(1/x^(1/2)+1)..
normalmente non si cerca di fattorizzare per il valore piu grande??
Quando hai a che fare con infinitesimi, si mette in evidenza quello d'ordine minore, poichè procedendo così trovi certamente qualcosa di convergente per un infinitesimo.
Infatti se hai $f(x)+g(x)$ con $f,g$ infinitesimi con $f$ d'ordine minore di $g$, mettendo in evidenza $f$ trovi $f(x)*(1+(g(x))/(f(x)))$ con $f(x)\to 0$ e $1+(g(x))/(f(x))\to 1$; viceversa, se mettessi in evidenza $g$ troveresti $g(x)*((f(x))/(g(x))+1)$ con $g(x)\to 0$ e $(f(x))/(g(x))+1\to oo$, quindi ritorneresti ad avere una forma indeterminata.
"piccola88":
inoltre,mi è venuto un dubbio:
in un altro esercizio si deve lo stesso stabilire il valore di alpha per far convergere l'integrale..
$\int_0^(+infty)(-4x-6)/x^alpha dx$
nel caso in cui x tende a $3$ ho che $\alpha-1<1
nel caso in cui x tende a $\infty$ ho che $\alpha-1>1
il procedimento svolto sul libro però indica direttamente che l'integrale converge soltanto per $\alpha-1<1
Non capisco che c'entri $3$, comunque...
Ad ogni modo, devi guardare cosa succede in $0$ ed in $+oo$ che sono gli unici "punti" a dare fastidio all'integrando.
In $0$ il numeratore non si annulla, quindi hai un infinito d'ordine $alpha$ e l'integrale converge se $alpha <1$.
In $+oo$ l'integrando ha ordine d'infinitesimo $alpha -1$ e l'integrale converge se $alpha -1>1$, ossia se $alpha >2$.
Ne viene che il tuo integrale non può convergere per alcuna scelta di $alpha$ non negativo.
EDIT: Corretto. Grazie piccola88.
"Gugo82":
In $0$ il numeratore non si annulla, quindi hai un infinito d'ordine $alpha$ e l'integrale converge se $alpha <1$.
In $+oo$ l'integrando ha ordine d'infinitesimo $alpha -1$ e l'integrale converge se $alpha -1>1$, ossia se $alpha >2$.
Ne viene che il tuo integrale converge se $alpha >2$.
non si dovrebbe trovare come soluzione finale che l'integrale di partenza converge per $\alpha <1$ U $\alpha>2??
oppure questo si fa solo quando i valori sono compresi in un intervallo?
Scusa, ho sbagliato a scrivere...
L'insieme di convergenza è $\{ 0<= alpha <1\} \cap \{ alpha >2\}$, che è evidentemente vuoto.
Quindi il tuo integrale non converge per alcun valore non negativo di $alpha$.
L'insieme di convergenza è $\{ 0<= alpha <1\} \cap \{ alpha >2\}$, che è evidentemente vuoto.
Quindi il tuo integrale non converge per alcun valore non negativo di $alpha$.
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