Valore assoluto integrale triplo

[Sk_Anonymous]

Buonasera a tutti. Ho un dubbio su un integrale triplo con valore assoluto in un estremo di integrazione.
L'integrale è questo:
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(1) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt $

Non riesco a capire come dividere gli estremi di integrazione con valore assoluto.
Qualcuno riesce a darmi una mano veloce?

Grazie

[killing_buddha]

Che senso ha integrare due volte in $dr$?

[Sk_Anonymous]

"killing_buddha":Che senso ha integrare due volte in $dr$?

ho corretto: era $drdsdt$

[killing_buddha]

Eh, ma adesso non e' comunque chiaro in che dominio vari ciascuno.

[Sk_Anonymous]

"killing_buddha":Eh, ma adesso non e' comunque chiaro in che dominio vari ciascuno.

Cosa vorrebbe dire? L'integrale si svolge normalmente. A me comunque interessa come spezzare l'integrale dato che ho un valore assoluto negli estremi.

[spugna2]

"jack1":[quote="killing_buddha"]Eh, ma adesso non e' comunque chiaro in che dominio vari ciascuno.

Cosa vorrebbe dire? L'integrale si svolge normalmente. A me comunque interessa come spezzare l'integrale dato che ho un valore assoluto negli estremi.[/quote]

Busogna specificare quale variabile va da $0$ a $2 pi$ e quale va da $-1$ a $1$.

[Sk_Anonymous]

"spugna":[quote="jack1"][quote="killing_buddha"]Eh, ma adesso non e' comunque chiaro in che dominio vari ciascuno.

Cosa vorrebbe dire? L'integrale si svolge normalmente. A me comunque interessa come spezzare l'integrale dato che ho un valore assoluto negli estremi.[/quote]

Busogna specificare quale variabile va da $0$ a $2 pi$ e quale va da $-1$ a $1$.[/quote]

Non so se ne avete mai fatti di integrali tripli ma di solito si segue l'ordine. Ovvero $0<=t<=2pi, -1<=s<=1, 0<=r<=1-|s|$.
Comunque quello che ho chiesto io non è svolgere l'integrale. E' solo capire come spezzare i due casi del valore assoluto.

[killing_buddha]

Non so se ne avete mai fatti di integrali tripli

Anzitutto, calmo

Poi, se fai il disegno del grafico di \(s\mapsto 1- |s|\) ti accorgi che su $[-1,0]$ esso è la retta $1+s$ e su $[0,1]$ è invece la retta $1-s$. Ciò implica che se spezzi l'integrale
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(1) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt $
come somma
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(0) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt + int_(0)^(2pi)int_(0)^(1) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt $
ti viene
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(0) int_(0)^(1+s) r(r^2+s^2) dr dsdt + int_(0)^(2pi)int_(0)^(1) int_(0)^(1-s) r(r^2+s^2) dr dsdt $
che ora dovresti saper fare. Oppure l'hai fatto e questo ragionamento non funziona?

[Sk_Anonymous]

"killing_buddha":

Non so se ne avete mai fatti di integrali tripli

Anzitutto, calmo

Poi, se fai il disegno del grafico di \(s\mapsto 1- |s|\) ti accorgi che su $[-1,0]$ esso è la retta $1+s$ e su $[0,1]$ è invece la retta $1-s$. Ciò implica che se spezzi l'integrale
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(1) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt $
come somma
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(0) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt + int_(0)^(2pi)int_(0)^(1) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt $
ti viene
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(0) int_(0)^(1+s) r(r^2+s^2) dr dsdt + int_(0)^(2pi)int_(0)^(1) int_(0)^(1-s) r(r^2+s^2) dr dsdt $
che ora dovresti saper fare. Oppure l'hai fatto e questo ragionamento non funziona?

Non era assolutamente in tono negativo la mia frase. Ti ringrazio molto per la risposta, non ero sicuro del fatto che andasse diviso anche $int_(-1)^(1)$. Ora mi hai chiarito le idee definitivamente. grazie ancora killing

[killing_buddha]

Il punto è proprio che (per una qualche forma del teorema di Fubini) gli integrali si possono scambiare di posto e sono operatori lineari sulle funzioni.
L'integrale
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(1) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt $
è uguale all'integrale
$ int_(-1)^(1) int_(0)^(2pi) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) drdtds $
e ora questo è uguale all'integrale
$ int_(-1)^(0) int_(0)^(2pi) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) drdtds + int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) drdtds$
Questo ti permette di concludere.

[Sk_Anonymous]

"killing_buddha":Il punto è proprio che (per una qualche forma del teorema di Fubini) gli integrali si possono scambiare di posto e sono operatori lineari sulle funzioni.
L'integrale
$ int_(0)^(2pi)int_(-1)^(1) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) dr dsdt $
è uguale all'integrale
$ int_(-1)^(1) int_(0)^(2pi) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) drdtds $
e ora questo è uguale all'integrale
$ int_(-1)^(0) int_(0)^(2pi) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) drdtds + int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) int_(0)^(1-|s|) r(r^2+s^2) drdtds$
Questo ti permette di concludere.

Esatto l'importante è che gli estremi che dipendono da altre variabili siano più interni di queste.