Valore assoluto funzione trigonometrica

[mazzy89-votailprof]

Mi trovo davanti una funzione del tipo:

$arctang(sqrt(|1-x|/sqrt|1+x|))$

dovrei calcolare la derivata prima. Conviene separare i vari casi, ottenendo così 4 funzioni diverse a seconda che sia $1-x>0$ o $<0$ e $1+x>0$ o $<0$ oppure calcolare direttamente la derivata sulla funzione con i valori assoluti?

[Paolo902]

Che io sappia non esiste un modo per derivare direttamente una funzione con un valore assoluto. Come si fa a derivare, ad esempio $y=|x|$? Secondo me bisogna riscrivere la funzione per casi, verificando che cosa succede in ogni singolo intervallo...

[franced]

"Paolo90":Che io sappia non esiste un modo per derivare direttamente una funzione con un valore assoluto. Come si fa a derivare, ad esempio $y=|x|$? Secondo me bisogna riscrivere la funzione per casi, verificando che cosa succede in ogni singolo intervallo...

La derivata di $|x|$ è $x/|x|$ (se $x \ne 0$) .

[Camillo]

"franced":[quote="Paolo90"]Che io sappia non esiste un modo per derivare direttamente una funzione con un valore assoluto. Come si fa a derivare, ad esempio $y=|x|$? Secondo me bisogna riscrivere la funzione per casi, verificando che cosa succede in ogni singolo intervallo...

La derivata di $|x|$ è $x/|x|$ (se $x \ne 0$) .[/quote]


Od anche $sign x $.

[Paolo902]

Sì, concordo con entrambi. Sapevo queste cose, quello che volevo dire io è che comuque - a quanto ne so io - non esiste una "regola" fissa di derivazione per funzioni con il valore assoluto. Il fatto che la derivata di $|x|$ sia $x/(|x|)$ è - a mio modo di vedere le cose - una semplice notazione. Infatti, io posso anche dire che la derivata di $|x|$ è $-1$, se $x<0$, $1$ se $x>0$ e non è definita in $0$. Spero concorderete con me su questo...

[salvozungri]

Mi verrebbe da dire che la funzione $"sign" x$ è diversa da $x/|x|$, la prima è definita in $0$, mentre la seconda no, sbaglio io? Non sarebbe più giusto precisare che $D(|x|)= "sign" x$ per $x!=0$

[mazzy89-votailprof]

quindi mi conviene dividere la funzione e studiarla nei vari intervalli giusto?

[Paolo902]

"mazzy89":quindi mi conviene dividere la funzione e studiarla nei vari intervalli giusto?

Io ti direi così, ma sentiamo ancora che cosa dicono pareri più autorevoli del mio. Tieni conto che - se non ho preso abbagli - gli intervalli in cui devi studiare la derivata sono "solo" tre... ti ricordi come si risolvevano le disequazioni con più valori assoluti alle superiori?

[Paolo902]

I intervallo di lavoro: $x<-1$: togliendo i moduli, il numeratore resta tale, il radicando al denominatore cambia segno.
II intervallo di lavoro: $-1 III intervallo di lavoro: $x>1$: cambi il segno al num, e non al denominatore.

Ovviamente, abbiamo escluso $x=-1$, valore per cui la $f$ non è definita.

[mazzy89-votailprof]

"Paolo90":I intervallo di lavoro: $x<-1$: togliendo i moduli, il numeratore resta tale, il radicando al denominatore cambia segno.
II intervallo di lavoro: $-1 III intervallo di lavoro: $x>1$: cambi il segno al num, e non al denominatore.

Ovviamente, abbiamo escluso $x=-1$, valore per cui la $f$ non è definita.

Esattamente come avevo fatto io.Anzi come ho sempre fatto fino ad ora.Ma mi chiedevo se c'era un metodo più veloce per studiarla

[Paolo902]

"mazzy89":[quote="Paolo90"]I intervallo di lavoro: $x<-1$: togliendo i moduli, il numeratore resta tale, il radicando al denominatore cambia segno.
II intervallo di lavoro: $-1 III intervallo di lavoro: $x>1$: cambi il segno al num, e non al denominatore.

Ovviamente, abbiamo escluso $x=-1$, valore per cui la $f$ non è definita.

Esattamente come avevo fatto io.Anzi come ho sempre fatto fino ad ora.Ma mi chiedevo se c'era un metodo più veloce per studiarla[/quote]

Non saprei dirti. Sentiamo cosa dicono gli altri.

[mazzy89-votailprof]

"Sergio":Be' forse puoi "semplicemente" applicare ripetutamente la regola di derivazione della funzione composta, usando come derivata di $|x|$ non solo $x/(|x|)$, ma anche l'equivalente $(|x|)/x$ - che a volte aiuta a semplificare i calcoli (pesantucci in questo caso).

Be si ci avevo pensato ma appunto come dici tu i calcoli diventano alquanto pesantucci dato che poi devo studiare la crescenza

[Camillo]

"Mathematico":Mi verrebbe da dire che la funzione $"sign" x$ è diversa da $x/|x|$, la prima è definita in $0$, mentre la seconda no, sbaglio io? Non sarebbe più giusto precisare che $D(|x|)= "sign" x$ per $x!=0$

Sì, è la interpretazione prevalente sulla definizione di $sign x $ : vedere anche la interessante dispensa
http://www.batmath.it/matematica/varie/ ... um_scr.pdf

[salvozungri]

"Camillo":[quote="Mathematico"]Mi verrebbe da dire che la funzione $"sign" x$ è diversa da $x/|x|$, la prima è definita in $0$, mentre la seconda no, sbaglio io? Non sarebbe più giusto precisare che $D(|x|)= "sign" x$ per $x!=0$

Sì, è la interpretazione prevalente sulla definizione di $sign x $ : vedere anche la interessante dispensa
http://www.batmath.it/matematica/varie/ ... um_scr.pdf[/quote]

Grazie , è davvero molto interessante!