Valore assoluto.
Si tratta di dedurre dalla definizione di valore assoluto la seguente uguaglianza:
Per $x$$in$$RR$, $y$$in$$RR$\${0}$
$|x/y|$=$|x|$/$|y|$.
Riduco x/y al prodotto di x per 1/y:
$|x*1/y|$=$|x|$$*$$|1/y|$. Non posso tuttavia "spezzare" il valore assoluto di 1/y, perchè dovrei utilizzare la proprietà che invece intendo dimostrare. Come risolvo il problema, riconducendo il rapporto a un prodotto? Devo per forza, per "dimostrare", considerare tutti i casi come ho fatto per il prodotto di due numeri diversi?
Per $x$$in$$RR$, $y$$in$$RR$\${0}$
$|x/y|$=$|x|$/$|y|$.
Riduco x/y al prodotto di x per 1/y:
$|x*1/y|$=$|x|$$*$$|1/y|$. Non posso tuttavia "spezzare" il valore assoluto di 1/y, perchè dovrei utilizzare la proprietà che invece intendo dimostrare. Come risolvo il problema, riconducendo il rapporto a un prodotto? Devo per forza, per "dimostrare", considerare tutti i casi come ho fatto per il prodotto di due numeri diversi?
Risposte
Non c'è bisogno di infarcire le righe con il simbolo di dollaro. Puoi scrivere semplicemente:
$x \in RR, y \in RR \\ {0}$
invece di:
$x$$in$$RR$, $y$$in$$RR$$\$${0}$
$x \in RR, y \in RR \\ {0}$
invece di:
$x$$in$$RR$, $y$$in$$RR$$\$${0}$
Ah, ok, grazie e scusa. Sto facendo del mio meglio, non è semplice pensare a quello che si vuole scrivere e imparare a scrivere le formule.
Si anche io sarei interessato a questa dimostrazione dato che tra le proprietà dei valori assoluti ho che
$|x*y| = |x|*|y|$ ma non ho la dimostrazione....e da solo non ci riesco.
$|x*y| = |x|*|y|$ ma non ho la dimostrazione....e da solo non ci riesco.
Io ragionerei così:
supponiamo $x*y>=0$. Allora per la regola dei segni $(x>=0 \and y>=0) \or (x<0 \and y<0)$. Di conseguenza si avrà:
$|x*y|=x*y$ per definizione di valore assoluto. Supponiamo vera la prima delle due alternative, allora $x*y=|x|*y=|x|*|y|$. Supponiamo adesso vera la seconda alternativa; si avrà: $x*y=-|x|*y=-(|x|*(-|y|))=-(-(|x|*|y|))=|x|*|y|$. Allora $|x*y|=x*y=|x|*|y|$.
Supponiamo ora $x*y<0$. Allora, sempre per la regola dei segni $(x>0 \and y<0) \or (x<0 \and y>0)$. Pertanto:
$|x*y|=-x*y$ per definizione di valore assoluto. Supponiamo vera la prima delle due alternative, allora $-x*y=-x*(-|y|)=-(-(x*|y|))=x*|y|=|x|*|y|$.
Supponiamo vera la seconda alternativa; sarà dunque: $-x*y=-(-|x|*y)=-(-(|x|*y))=|x|*y=|x|*|y|$. Allora $|x*y|=-x*y=|x|*|y|$, e la dimostrazione è conclusa.
Aggiungo la dimostrazione che $\AA x \in RR x<0 rarr x=-|x|$. Infatti vale $x=-(-x)$; ma, per definizione di valore assoluto, visto che $x<0$, è $-x=|x|$; pertanto $x=-(-x)=-|x|$.
supponiamo $x*y>=0$. Allora per la regola dei segni $(x>=0 \and y>=0) \or (x<0 \and y<0)$. Di conseguenza si avrà:
$|x*y|=x*y$ per definizione di valore assoluto. Supponiamo vera la prima delle due alternative, allora $x*y=|x|*y=|x|*|y|$. Supponiamo adesso vera la seconda alternativa; si avrà: $x*y=-|x|*y=-(|x|*(-|y|))=-(-(|x|*|y|))=|x|*|y|$. Allora $|x*y|=x*y=|x|*|y|$.
Supponiamo ora $x*y<0$. Allora, sempre per la regola dei segni $(x>0 \and y<0) \or (x<0 \and y>0)$. Pertanto:
$|x*y|=-x*y$ per definizione di valore assoluto. Supponiamo vera la prima delle due alternative, allora $-x*y=-x*(-|y|)=-(-(x*|y|))=x*|y|=|x|*|y|$.
Supponiamo vera la seconda alternativa; sarà dunque: $-x*y=-(-|x|*y)=-(-(|x|*y))=|x|*y=|x|*|y|$. Allora $|x*y|=-x*y=|x|*|y|$, e la dimostrazione è conclusa.
Aggiungo la dimostrazione che $\AA x \in RR x<0 rarr x=-|x|$. Infatti vale $x=-(-x)$; ma, per definizione di valore assoluto, visto che $x<0$, è $-x=|x|$; pertanto $x=-(-x)=-|x|$.
A questo punto direi che, assodato che $\forall x, y \in \mathbb{R}, |x\cdoty|=|x|\cdot|y|$, si può scrivre $|\frac{x}{y}|=|x\cdot\frac{1}{y}|=|x|\cdot|\frac{1}{y}|=|x|\cdot\frac{1}{|y|}=\frac{|x|}{|y|}$, dove $|\frac{1}{y}|=\frac{1}{|y|}$ è giustificata dal fatto che $1 \in \mathbb{R}_{>=0}$.
dove |1y|=1|y| è giustificata dal fatto che 1∈ℝ≥0.
A me sembra sempre un circolo vizioso. Perchè sarebbe giustificato dal fatto che 1 è maggiore o uguale a zero?
il discorso è grossomodo quello che ti ha detto maurer, però forse è più semplice se esamini separatamente i quatto casi di x ed y positivi o negativi, lavorando senza il simbolo di modulo:
$x>=0, y>=0$->$x*y>=0$->
->|x|=x, |y|=y, |x|*|y|=x*y>=0, |x*y|=x*y->
sia |x*y| sia |x|*|y| sono uguali a $x*y$
$x<0, y<0$->$x*y>=0$->
->|x|=-x, |y|=-y, |x|*|y|=(-x)*(-y)=x*y>=0, |x*y|=x*y->
->sia |x*y| sia |x|*|y| sono uguali a $x*y$
$x>=0, y<0$->$x*y<=0$->
->|x|=x, |y|=-y, |x|*|y|=x*(-y)=-(x*y)>=0, |x*y|=-(x*y)->
sia |x*y| sia |x|*|y| sono uguali a $-(x*y)$
spero di essere stata chiara. ciao.
$x<0, y>=0$->$x*y<=0$->
->|x|=-x, |y|=y, |x|*|y|=-x*y-(x*y)>=0, |x*y|=-(x*y)->
sia |x*y| sia |x|*|y| sono uguali a $-(x*y)$
$x>=0, y>=0$->$x*y>=0$->
->|x|=x, |y|=y, |x|*|y|=x*y>=0, |x*y|=x*y->
sia |x*y| sia |x|*|y| sono uguali a $x*y$
$x<0, y<0$->$x*y>=0$->
->|x|=-x, |y|=-y, |x|*|y|=(-x)*(-y)=x*y>=0, |x*y|=x*y->
->sia |x*y| sia |x|*|y| sono uguali a $x*y$
$x>=0, y<0$->$x*y<=0$->
->|x|=x, |y|=-y, |x|*|y|=x*(-y)=-(x*y)>=0, |x*y|=-(x*y)->
sia |x*y| sia |x|*|y| sono uguali a $-(x*y)$
spero di essere stata chiara. ciao.
$x<0, y>=0$->$x*y<=0$->
->|x|=-x, |y|=y, |x|*|y|=-x*y-(x*y)>=0, |x*y|=-(x*y)->
sia |x*y| sia |x|*|y| sono uguali a $-(x*y)$
Raga', forse ci sono arrivato in una via più sintetica.
$|x/y|=|x*1/y|=|x*y^(-1)|=|x|*|y|^(-1)=|x|*1/|y|=|x|/|y|$
Trasformerei, usando questa "dimostrazione", la proprietà secondo cui $|x^n|=|x|^n$
Mi dite se va bene?
$|x/y|=|x*1/y|=|x*y^(-1)|=|x|*|y|^(-1)=|x|*1/|y|=|x|/|y|$
Trasformerei, usando questa "dimostrazione", la proprietà secondo cui $|x^n|=|x|^n$
Mi dite se va bene?
come fai a passare dal tezo passaggio al quarto? secondo me quello giusto è quello che ti ha postato ada,anche se in verità puoi considerare solo tre casi:entrambi positivi,entrambi negativi,e il caso in cui son discordi.
Provo a riscrivere:
$|x/y|=|x⋅1/y|=|x⋅y^(-1)|=|x|⋅|y^(-1)|=$ (per la proprietà che ho scritto sotto allo sviluppo, nella precedente risposta, quella secondo cui $|x^n|=|x|^n$) $=|x|*|y|^(-1)= |x|⋅1/|y|=|x|/|y| $
Se però considerate la proprietà indicata tra parentesi come valida solo con $n in NN$, allora fate come se non avessi scritto niente. In sostanza, è come se avessi allargato il senso di quella proprietà anche per gli esponenti negativi, cosa evidentemente non dimostrata.
$|x/y|=|x⋅1/y|=|x⋅y^(-1)|=|x|⋅|y^(-1)|=$ (per la proprietà che ho scritto sotto allo sviluppo, nella precedente risposta, quella secondo cui $|x^n|=|x|^n$) $=|x|*|y|^(-1)= |x|⋅1/|y|=|x|/|y| $
Se però considerate la proprietà indicata tra parentesi come valida solo con $n in NN$, allora fate come se non avessi scritto niente. In sostanza, è come se avessi allargato il senso di quella proprietà anche per gli esponenti negativi, cosa evidentemente non dimostrata.
... cioè dici: se vale per la moltiplicazione, allora vale anche per la divisione e per le potenze ad esponente intero. OK.
ma non dovevi dimostrare che valesse per la moltiplicazione?
ma non dovevi dimostrare che valesse per la moltiplicazione?
Sì, infatti, è una proprietà delle potenze che viene "logicamente" introdotta prima di quella di cui ho voluto dimostrare la verità in questa discussione. Questo perchè la divisione si definisce, in generale, a partire dalla moltiplicazione.
Se quindi è dimostrata quella, è giusto utilizzarla con esponente intero relativo invece che naturale? Io l'ho dimostrata (credo di averla dimostrata) solo per un esponente naturale.
Se quindi è dimostrata quella, è giusto utilizzarla con esponente intero relativo invece che naturale? Io l'ho dimostrata (credo di averla dimostrata) solo per un esponente naturale.
hai usato anche esponente -1 al posto della divisione. se vale per la divione e vale per le potenze ad esponente naturale, allora vale anche per le potenze ad esponente intero relativo: $|x^n*y^(-m)|=|x^n*(y^m)^(-1)|=|(x^n)/(y^m)|$
il problema della divisione non è il prodotto dei segni, ma il campo di esistenza, nel senso che ad esempio quest'espressione, sia che scrivi diviso sia che metti esponente negativo non avrebbe senso per y=0.
il problema della divisione non è il prodotto dei segni, ma il campo di esistenza, nel senso che ad esempio quest'espressione, sia che scrivi diviso sia che metti esponente negativo non avrebbe senso per y=0.
se vale per la divione e vale per le potenze ad esponente naturale, allora vale anche per le potenze ad esponente intero relativo
Io devo dimostrarlo (è la mia tesi) che valga anche nella divisione. Per dimostrare la mia tesi, devo avere delle proprietà precedentemente dimostrate da utilizzare. Io mi sono nel frattempo dimostrato che $|x*y|=|x|*|y|$ (quello che hai usato tu, i vari casi) e che $|x^n|=|x|^n$. Io ho quindi utilizzato queste due proprietà per dimostrare che valesse la prima, non diversamente.
Perciò ho detto che temo di aver sbagliato. Difatti la proprietà $|x^n|=|x|^n$ vale solo per $n in NN$, e non per $n in ZZ$. Io per la dimostrazione della "divisione" ho utilizzato l'appartenenza dell'esponente n a Z, che è tutt'altro che dimostrata (almeno io non l'ho fatto prima di utilizzarla).
Alla luce di quanto detto, chiedo se anche per la divisione, indipendentemente dalla moltiplicazione, debba utilizzare tutti i casi in cui x e y siano positivi o negativi, oppure devo utilizzare questa casistica solo per dimostrare che $|x*y|=|x|*|y|$ e poi partire da quest'ultima proprietà per dimostrare che $|x/y|=|x|/|y|$?
secondo me è più semplice esaminare i vari casi della moltiplicazione ed applicarli direttamente alla divisione, perché la regola del prodotto dei segni, come vale per la moltiplicazione, è estesa alla divisione: non credo che tu debba dimostrare che le regole del prodotto dei segni valgono per la divisione!
inoltre la scrittura |x|/|y| e la scrittura |x/y| valgono entrambe quando vale x/y , cioè quando y è diverso da zero.
quindi, il campo di esistenza è lo stesso, le regole dei segni della divisione sono uguali a quelle della moltiplicazione,
basta ripetere quanto detto per la moltiplicazione prendendo "diviso" anziché "per".
N.B. "è la mia tesi" vuol dire che è "tutta" la tua tesi?
inoltre la scrittura |x|/|y| e la scrittura |x/y| valgono entrambe quando vale x/y , cioè quando y è diverso da zero.
quindi, il campo di esistenza è lo stesso, le regole dei segni della divisione sono uguali a quelle della moltiplicazione,
basta ripetere quanto detto per la moltiplicazione prendendo "diviso" anziché "per".
N.B. "è la mia tesi" vuol dire che è "tutta" la tua tesi?
N.B. "è la mia tesi" vuol dire che è "tutta" la tua tesi?
Sì, io voglio semplicemente dimostrare perchè $|x/y|=|x|/|y|$
secondo me è più semplice esaminare i vari casi della moltiplicazione ed applicarli direttamente alla divisione, perché la regola del prodotto dei segni, come vale per la moltiplicazione, è estesa alla divisione: non credo che tu debba dimostrare che le regole del prodotto dei segni valgono per la divisione!
Allora farò così, anche se ricordo che il mio professore ricondusse questo caso a quello della moltiplicazione. Può anche darsi che lo fece, e dimostrò ugualmente la cosa con il prodotto dei segni.
Scusate, ma non è più semplice notare che $|\frac{1}{y}|=\frac{1}{|y|}$: infatti $\frac{1}{y}\in\mathbb{R}_{<0}<=>y\in\mathbb{R}_{<0}$, quindi per definizione stessa di modulo si ha quell'uguaglianza.
Assodato questo si ha la semplice catena di uguaglianze $|\frac{x}{y}|=|x\frac{1}{y}|=|x|\cdot|\frac{1}{y}|=|x|\cdot\frac{1}{|y|}=\frac{|x|}{|y|}$.
Assodato questo si ha la semplice catena di uguaglianze $|\frac{x}{y}|=|x\frac{1}{y}|=|x|\cdot|\frac{1}{y}|=|x|\cdot\frac{1}{|y|}=\frac{|x|}{|y|}$.
Per quanto riguarda poi $|x^n|=|x|^n$, si può procedere per induzione.
Per $n=1$ è banalmente vera.
Supposto che per $n$ valga $|x^n|=|x|^n$, si ha $|x^(n+1)|=|x^n \cdot x|=|x^n|\cdot|x|=|x|^n \cdot|x|=|x|^(n+1)$.
Se $n \in \mathbb{Z}^{-}$, allora riscritta $|x^n|=|x|^n$ come $|(x^(-1))^(-n)|=(|x|^(-1))^(-n)$, basta porre $x^(-1)=\alpha$ e $-n=m \in \mathbb{N}$ per tornare alla dimostrazione precedente.
Il caso $n=0$ è banale.
Per $n=1$ è banalmente vera.
Supposto che per $n$ valga $|x^n|=|x|^n$, si ha $|x^(n+1)|=|x^n \cdot x|=|x^n|\cdot|x|=|x|^n \cdot|x|=|x|^(n+1)$.
Se $n \in \mathbb{Z}^{-}$, allora riscritta $|x^n|=|x|^n$ come $|(x^(-1))^(-n)|=(|x|^(-1))^(-n)$, basta porre $x^(-1)=\alpha$ e $-n=m \in \mathbb{N}$ per tornare alla dimostrazione precedente.
Il caso $n=0$ è banale.
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