VALORE ASSOLUTO
Ciao a tutti , vi scrivo per porvi questo questio sul valore assoluto , penso che la soluzione sia semplice ma non riesco a trovare spiegazioni adeguate sui libri che ho!
Ho provato a leggere alcune spiegazioni sul vostro sito ma sinceramente non le ho capite
allora ho la seguente funzione :
f(x)= |3x-|x-1||
e mi viene chiesto di studiarne la continuità e la derivabilità
allora inanzitutto come spiegazione del valore assoluto mi viene detto praticamente che il valora assoluto è un ''qualcosa''p che lascia x invariato se questo è un numero positivo o nulla ma che lo inverte se questo è negativo.
Questo lo si dice nel senso che se io ho |x| e do a x il valore -5 questo diventa cinque con il valore assoluto , oppure vale anche per |-X|? perchè io ho trovato anche la dicitura |x|=|-x|
allora io potrei scrivere |3x+|x-1| e sarebbe equivalente?
In ogni caso non riesco a concludere come considerare il valore assoluto all'interno di un'altro valore assoluto.
Se io ho |3x|-|x-1| mi è chiaro perchè faccio i vari sistemi ponendo tutti i casi di 3x e x-1 maggiori o minori di zero e faccio l'unione per disegnare poi il grafico ma con un'altro valore assoluto non ho idea di che fare.... o meglio mi verrebbe da dire che il valore assoluto interno si potrebbe anche togliere , ma non riesco a capire se questo è giusto o no.
Per capire la continuità poi.....una funzione è continua se lim f(x) con x che tende a x con zero è uguale a f(x0) (intendo f di x con zero) .....si va bene ma aplicarla praticamente li?? bho!
Penso che quella funzione abbia come dominio tutte le x appartenenti ad r e come codominio tutti i R+ compreso lo zero.
Quindi è una funzione limitata inferiormente giusto?
grazie per l'aiuto!
Ho provato a leggere alcune spiegazioni sul vostro sito ma sinceramente non le ho capite
allora ho la seguente funzione :
f(x)= |3x-|x-1||
e mi viene chiesto di studiarne la continuità e la derivabilità
allora inanzitutto come spiegazione del valore assoluto mi viene detto praticamente che il valora assoluto è un ''qualcosa''p che lascia x invariato se questo è un numero positivo o nulla ma che lo inverte se questo è negativo.
Questo lo si dice nel senso che se io ho |x| e do a x il valore -5 questo diventa cinque con il valore assoluto , oppure vale anche per |-X|? perchè io ho trovato anche la dicitura |x|=|-x|
allora io potrei scrivere |3x+|x-1| e sarebbe equivalente?
In ogni caso non riesco a concludere come considerare il valore assoluto all'interno di un'altro valore assoluto.
Se io ho |3x|-|x-1| mi è chiaro perchè faccio i vari sistemi ponendo tutti i casi di 3x e x-1 maggiori o minori di zero e faccio l'unione per disegnare poi il grafico ma con un'altro valore assoluto non ho idea di che fare.... o meglio mi verrebbe da dire che il valore assoluto interno si potrebbe anche togliere , ma non riesco a capire se questo è giusto o no.
Per capire la continuità poi.....una funzione è continua se lim f(x) con x che tende a x con zero è uguale a f(x0) (intendo f di x con zero) .....si va bene ma aplicarla praticamente li?? bho!
Penso che quella funzione abbia come dominio tutte le x appartenenti ad r e come codominio tutti i R+ compreso lo zero.
Quindi è una funzione limitata inferiormente giusto?
grazie per l'aiuto!
Risposte
Il valore assoluto è una sorta di funzione che ha come immagine solo valori non negativi, in quanto restituisce l'argomento così com'è quando non è negativo, restituisce l'argomento cambiato di segno quando è negativo, ad esempio, |+3|=3, mentre invece |-3|=-(-3)=+3.
In generale: $|g(x)|={(g(x), "se "g(x)\ge 0),(-g(x), "se "g(x)<0):}$
Come vedi quindi, quando hai una funzione con valori assoluti, essa si può scomporre in più parti in ognuna delle quali non compare il valore assoluto.
La tua funzione è: $f(x)=|3x-|x-1||$.
Il valore assoluto più interno è $x-1$, esso risulta essere non negativo per $x\ge 1$, negativo per $x<1$, quindi la funzione si scompone in questo modo:
$f(x)={(|3x-(x-1)|, "se "x\ge 1),(|3x-(1-x)|, "se "x<1):}={(|2x+1|, "se "x\ge 1),(|4x-1|, "se "x<1):}$
In questo modo è stato cancellato il valore assoluto più interno.
Per spezzare anche gli altri due valori assoluti procedi analogamente, alla fine, la funzione ottenuta, sarà spezzata in quattro parti.
La funzione in questione è data dalla composizione di polinomi, che sono funzioni continue e derivabili.
Gli unici controlli che devi fare sono i punti in cui spezzi il valore assoluto, ovvero: $1$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, per il resto la $f(x)$ è continua e derivabile.
In generale: $|g(x)|={(g(x), "se "g(x)\ge 0),(-g(x), "se "g(x)<0):}$
Come vedi quindi, quando hai una funzione con valori assoluti, essa si può scomporre in più parti in ognuna delle quali non compare il valore assoluto.
La tua funzione è: $f(x)=|3x-|x-1||$.
Il valore assoluto più interno è $x-1$, esso risulta essere non negativo per $x\ge 1$, negativo per $x<1$, quindi la funzione si scompone in questo modo:
$f(x)={(|3x-(x-1)|, "se "x\ge 1),(|3x-(1-x)|, "se "x<1):}={(|2x+1|, "se "x\ge 1),(|4x-1|, "se "x<1):}$
In questo modo è stato cancellato il valore assoluto più interno.
Per spezzare anche gli altri due valori assoluti procedi analogamente, alla fine, la funzione ottenuta, sarà spezzata in quattro parti.
La funzione in questione è data dalla composizione di polinomi, che sono funzioni continue e derivabili.
Gli unici controlli che devi fare sono i punti in cui spezzi il valore assoluto, ovvero: $1$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, per il resto la $f(x)$ è continua e derivabile.
edito : grazie per la completezza della risposta 
Ho modificato il messaggio precedente.
In realtà risulterà "spezzata" in sole 3 parti, in quanto in uno dei 4 casi non c'è intersezione tra gli intervalli.
Io trovo:
$f(x)={(2x+1, "se " x>=1),(4x-1, "se " 1/4<=x<1),(1-4x, "se " x<1/4):}$
Io trovo:
$f(x)={(2x+1, "se " x>=1),(4x-1, "se " 1/4<=x<1),(1-4x, "se " x<1/4):}$
Sì sì, ho detto quattro senza fare i conti.
bene , rivedendola mi è venuta fuori esattamente come a laura.todisco.
quando mi hai detto di controllare nei punti in cui si spezza il valore intendevi fare attenzione al fatto che il punto fosse compreso o no vero?
quando mi hai detto di controllare nei punti in cui si spezza il valore intendevi fare attenzione al fatto che il punto fosse compreso o no vero?
Intendevo controllare continuità e derivabilità della funzione in quei punti.
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