Valore assoluto

[zerbo1000]

quando mi trovo davanti un valore assoluto, che sia per studiare il dominio di una funzione col valore assoluto, o un integrale o un limite, o qualsiasi cosa in cui ci può essere in valore assoluto(rimanendo all interno degli argomenti di analisi 1 al meno) le possibilità che ho sono, o di spezzarlo, o di toglierlo nel caso in cui si riesca a dimostrare che l'argomento del valore assoluto sia tutto posivito? oppure ci sono altre casistiche in cui bisogna affrontarlo in diverso modo?

ogni volta che mi trovo davanti un valore assoluto vado in panico perche non capisco come si deve affrontare in termini pratici.

thanks!!

[billyballo2123]

Non ci sono altri modi
Se sai che ciò che c'è all'interno è positivo, lo puoi togliere, altrimenti devi considerare i due casi

[zerbo1000]

ad esempio se ho $int|f|$ devo per forza fare
$intf$
$int-f$

che sia definito o indefinito o improprio?

e se ho un limite invece che considerare i due casi di
$x$
$-x$

posso considerare i due casi di
$x->(x_0)^-$
$x->(x_0)^+$
che è uguale?

[billyballo2123]

Dipende. Cosa ti chiede l'esercizio? Di calcolare il valore dell'integrale? Se si allora devi spezzare il dominio di integrazione nei punti in cui $f$ è positiva, e calcolare
\[
\int f
\]
su quel sottoinsieme del dominio, e poi sommarci
\[
\int -f
\]
sulla parte di dominio restante.

[zerbo1000]

grazie

"zerbo1000":

e se ho un limite invece che considerare i due casi di
$x$
$-x$

posso considerare i due casi di
$x->(x_0)^-$
$x->(x_0)^+$
che è uguale?

[billyballo2123]

Ehm... vediamo se ho capito la tua domanda. Supponiamo tu voglia calcolare
\[
\lim_{x\to 0}\bigg|\frac{1}{x}\bigg|.
\]
Allora hai che
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty
\]
e
\[
\lim_{x\to 0^-}-\frac{1}{x}=+\infty
\]
dunque il limite è $+\infty$. Questo esempio risponde alla tua domanda?

[zerbo1000]

ah ok si direi di si, la mia domanda era se invece calcolare $lim_(x->0)|x|$ come $lim_(x->0)x$ e $lim_(x->0)-x$ potevo calcolarlo come $lim_(x->0^-)x$ $lim_(x->0^+)x$ ottenedo un risultato equivalente, dalla tua risposta mi sembra di capire che il risultato non sarebbe equivalente right?

[billyballo2123]

Esatto. Nel mio esempio il tuo procedimento non funziona, perché otterresti
\[
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty
\]
deducendo così che il limite non esiste (dato che quello destro e quello sinistro sono diversi), mentre invece esiste.

[zerbo1000]

devo sempre calcolare il limite destro e anche quello sinistro, perchè potrebbero essere diversi? ogni volta che calcolo un limite?

[billyballo2123]

Nooo non ogni volta che calcoli un limite. Però se hai una valore assoluto, e ciò che c'è dentro ha segno positivo per $xx_0$ (o viceversa), E TU DEVI CALCOLARE PROPRIO IL LIMITE PER $x$ CHE TENDE A $x_0$, allora devi dividere i due casi come ti ho fatto vedere. Ma se tu devi calcolare il limite lontano dal punto in cui il la funzione dentro al valore assoluto cambia segno, non c'è bisogno che tu faccia tutti e due i casi. Nell'esempio che ti ho fatto prima, se anziché calcolare il limite per $x$ che tende a zero avessi avuto
\[
\lim_{x\to 1}\bigg|\frac{1}{x}\bigg|,
\]
essendo $x$ in un intorno di uno, $1/x$ è positivo, dunque
\[
\lim_{x\to 1}\bigg|\frac{1}{x}\bigg|=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x}=1
\]
senza dover calcolare il limite destro e il limite sinistro.

Se invece facciamo tendere $x$ a meno uno, abbiamo
\[
\lim_{x\to -1}\bigg|\frac{1}{x}\bigg|=\lim_{x\to -1}-\frac{1}{x}=1.
\]