Valore approssimato di funzione e resto (Taylor)

[VGordon7]

Buongiorno, vorrei proporvi questo esercizio che non so come risolvere:



Potreste essere così gentili da spiegarmelo? Grazie

[Rigel1]

Inizia a scrivere il polinomio di Taylor richiesto, poi si discute sul resto.

[VGordon7]

Innanzitutto calcolo le derivate:

$ f(x) = x^(1/2), f'(x) = 1/2*(x^(-1/2)), f''(x) = -1/4*(x^(-3/2)) $

Il polinomio quindi è:

$ P(x) = 9^(1/2) + (1/2*(9^(-1/2)))(x-9) + (-1/4*(9^(-3/2)))/(2!)*(x-9)^2 $

Sostituendo $ x = 11 $ ottengo $ 3.1494 $ che è abbastanza vicino al valore cercato di $ sqrt(11 $

Il mio problema è: come calcolo l'errore commesso?

[Rigel1]

Puoi scrivere, ad esempio, l'errore usando la formula di Lagrange (che in questo caso fa uso della derivata terza) e fare una stima su quello (ricordantoti che il punto \(c\) che compare nella formula di Lagrange appartiene all'intervallo \((9,11)\)).

[VGordon7]

Il resto di Lagrange sarebbe:

$ ((3/8(c)^(-5/2))/(4!))*(x-9)! $

Ma da qui come si ottiene un valore esatto? $ c $ con cosa verrebbe sostituito?

[Rigel1]

C'è qualche errore (\(4!\) al posto di \(3!\) e \((x-9)!\) al posto di \((x-9)^3\)). Inoltre ti conviene già fissare \(x=11\).
Adesso devi tenere conto del fatto che, fissato \(x=11\), anche se non sai esattamente quanto vale \(c\), sai che \(c\in (9,11)\), dunque puoi opportunamente maggiorare il tuo resto.