Valor principale
Salve a tutti ,
ho appena finito di studiare il capitolo del Rossetti ,
riguardante il valor principale di un integrale .
Verso la fine, mi si dice che questo valor principale è definito
soltanto in caso di poli semplici sul cammino di integrazione,
mentre , per poli doppi ad esempio , tale definizione non è applicabile.
Io avrei detto che il valor principale di un integrale
è definito ogni qual volta si ha un polo di ordine n , con n dispari , sul cammino di integrazione e ,
lo stesso , non è definito quando sul cammino c' è un polo di ordine m , con m pari ,
perché il mio libro si ferma a discutere i casi di polo semplice e polo doppio ?
Per chiarezza , per valor principale si intende:
Dato un integrale del tipo
$ I(x_0)=int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0) $
si può definire il valor principale di tale integrale come ,
$ P int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0)= $
$ =lim_(epsilon -> 0) [int_(-oo)^(x_0-epsilon) f(x)/(x-x_0)dx+ int_(x_0+epsilon)^(+oo) f(x)/(x-x_0) dx ] $
ho appena finito di studiare il capitolo del Rossetti ,
riguardante il valor principale di un integrale .
Verso la fine, mi si dice che questo valor principale è definito
soltanto in caso di poli semplici sul cammino di integrazione,
mentre , per poli doppi ad esempio , tale definizione non è applicabile.
Io avrei detto che il valor principale di un integrale
è definito ogni qual volta si ha un polo di ordine n , con n dispari , sul cammino di integrazione e ,
lo stesso , non è definito quando sul cammino c' è un polo di ordine m , con m pari ,
perché il mio libro si ferma a discutere i casi di polo semplice e polo doppio ?
Per chiarezza , per valor principale si intende:
Dato un integrale del tipo
$ I(x_0)=int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0) $
si può definire il valor principale di tale integrale come ,
$ P int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0)= $
$ =lim_(epsilon -> 0) [int_(-oo)^(x_0-epsilon) f(x)/(x-x_0)dx+ int_(x_0+epsilon)^(+oo) f(x)/(x-x_0) dx ] $
Risposte
Secondo me più che questione di pari o dispari è questione di ordine della singolarità. Un polo semplice è una singolarità non integrabile, ma per un pelino (un logaritmo). Invece un polo doppio non è integrabile e basta. Un polo di ordine 3, peggio ancora. Eccetera.
Grazie , hai ragione .
Il mio libro presenta due dimostrazioni dell' integrabilità e non integrabilità di un polo di primo e secondo ordine.
La prima è di carattere grafico, mi presenta i grafici delle seguente funzioni ,
$f(x)=1/(x-x_0)$ e $f(x)=1/(x-x_0)^2$
Diciamo ad occhio si vede , tenendo conto della definizione di valor principale , che nel caso di polo semplice si hanno due contributi infiniti che si elidono, dando luogo ad un risultato finito, nel caso di un polo doppio i contributi infiniti si sommano e si ha divergenza.
Ora io ti parlavo di pari e dispari proprio pensando a questo concetto, degli infiniti che si elidono o sommano e , graficamente, tutto mi tornava , e proprio per questo ,
avrei pronosticato un alternarsi di integrabilità e non integrabilità,
con i poli rispettivamente di ordine dispari e pari , cosa che invece non è.
Se invece prendo la strada rigorosa , il problema della non integrabilità sorge proprio perché calcolando l'integrale lungo il cammino che "scavalca" la singolarità avrei :
$ lim_(epsilon -> o)int_(C_1)f(x)/(x-x_0)^2dx= $
$ =P int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0)^2dx +lim_(epsilon -> o)int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)^2dx $
Dove $C_epsilon$ è proprio la semicirconferenza che " scavalca" la singolarità ,
ma in questo caso risulta
$ int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)^2dx ~~lim _(epsilon -> 0) -2(f(x_0))/epsilon $
che chiaramente diverge , e diverge sempre più in fretta tra l'altro aumentando l'ordine del polo ,
la situazione peggiora , proprio come mi dicevi tu.
Non capisco questa incongruenza tra il metodo grafico e il metodo analitico ,
sono quasi sicuro di aver interpretato male il primo metodo.
Che ne dici ?
Il mio libro presenta due dimostrazioni dell' integrabilità e non integrabilità di un polo di primo e secondo ordine.
La prima è di carattere grafico, mi presenta i grafici delle seguente funzioni ,
$f(x)=1/(x-x_0)$ e $f(x)=1/(x-x_0)^2$
Diciamo ad occhio si vede , tenendo conto della definizione di valor principale , che nel caso di polo semplice si hanno due contributi infiniti che si elidono, dando luogo ad un risultato finito, nel caso di un polo doppio i contributi infiniti si sommano e si ha divergenza.
Ora io ti parlavo di pari e dispari proprio pensando a questo concetto, degli infiniti che si elidono o sommano e , graficamente, tutto mi tornava , e proprio per questo ,
avrei pronosticato un alternarsi di integrabilità e non integrabilità,
con i poli rispettivamente di ordine dispari e pari , cosa che invece non è.
Se invece prendo la strada rigorosa , il problema della non integrabilità sorge proprio perché calcolando l'integrale lungo il cammino che "scavalca" la singolarità avrei :
$ lim_(epsilon -> o)int_(C_1)f(x)/(x-x_0)^2dx= $
$ =P int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0)^2dx +lim_(epsilon -> o)int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)^2dx $
Dove $C_epsilon$ è proprio la semicirconferenza che " scavalca" la singolarità ,
ma in questo caso risulta
$ int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)^2dx ~~lim _(epsilon -> 0) -2(f(x_0))/epsilon $
che chiaramente diverge , e diverge sempre più in fretta tra l'altro aumentando l'ordine del polo ,
la situazione peggiora , proprio come mi dicevi tu.
Non capisco questa incongruenza tra il metodo grafico e il metodo analitico ,
sono quasi sicuro di aver interpretato male il primo metodo.
Che ne dici ?
Non mi prendere per verità assoluta, esprimevo solo la mia opinione. Tu hai ragione a dire che
\[
\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{ 1\ge\lvert x \rvert >\varepsilon} x^{-k}\, dx = 0
\]
per ogni $k$ intero dispari. Quello che volevo dire è che - immagino - questa estensione non è molto interessante per poli di ordine superiore a $1$, perché si tratta di singolarità molto marcate.
\[
\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{ 1\ge\lvert x \rvert >\varepsilon} x^{-k}\, dx = 0
\]
per ogni $k$ intero dispari. Quello che volevo dire è che - immagino - questa estensione non è molto interessante per poli di ordine superiore a $1$, perché si tratta di singolarità molto marcate.
Non ti sto prendendo come fonte di verità assoluta,
diciamo come persona informata sui fatti
Il libro su cui sto studiando fa distinzione solo tra poli di primo e second'ordine .
Io mi stavo chiedendo se posso estendere questa distinzione tra poli di ordine pari e poli dispari.
La risposta a cui sono arrivato è negativa , dato che quest' integrale diverge
$ int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)^kdx $
per $k>1$
E non è possibile definire il valor principale , d' altro canto
$ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{ 1 >=|x|> \varepsilon} x^{-k}\=0 $
per ogni $k$ intero dispari ,
e proprio su questo si basava la dimostrazione "grafica" del poter definire il valor principale.
diciamo come persona informata sui fatti
Quello che volevo dire è che - immagino - questa estensione non è molto interessante per poli di ordine superiore a 1, perché si tratta di singolarità molto marcate.
Il libro su cui sto studiando fa distinzione solo tra poli di primo e second'ordine .
Io mi stavo chiedendo se posso estendere questa distinzione tra poli di ordine pari e poli dispari.
La risposta a cui sono arrivato è negativa , dato che quest' integrale diverge
$ int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)^kdx $
per $k>1$
E non è possibile definire il valor principale , d' altro canto
$ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{ 1 >=|x|> \varepsilon} x^{-k}\=0 $
per ogni $k$ intero dispari ,
e proprio su questo si basava la dimostrazione "grafica" del poter definire il valor principale.
Attenzione! Avevo sbagliato a scrivere gli estremi di integrazione nel mio post precedente.
Anche sul Calogero , si sottolinea il fatto che la prescrizione del valor principale fornisca una definizione
finita dell' integrale effettuato su un cammino contenente singolarità , solo nel caso di polo semplice , in cui la finitezza del risultato è dovuta alla cancellazione dei contributi divergenti di segno opposto, cosa che purtoppo io pronosticavo avvenisse tutte le volte che ci si trova davanti ad un polo di ordine dispari ,
pensando appunto all' interpretazione grafica.
La dimostrazione analitica ,
che sul Calogero è identica a quella del Rossetti,non lascia scampo in effetti ,
ma se penso a quella grafica sento di non aver ancora chiarito per bene le cose.
finita dell' integrale effettuato su un cammino contenente singolarità , solo nel caso di polo semplice , in cui la finitezza del risultato è dovuta alla cancellazione dei contributi divergenti di segno opposto, cosa che purtoppo io pronosticavo avvenisse tutte le volte che ci si trova davanti ad un polo di ordine dispari ,
pensando appunto all' interpretazione grafica.
La dimostrazione analitica ,
che sul Calogero è identica a quella del Rossetti,non lascia scampo in effetti ,
ma se penso a quella grafica sento di non aver ancora chiarito per bene le cose.
EH??? Ma se abbiamo appena detto che la cancellazione dei termini *avviene* ogni volta che il polo è dispari. Quindi la tua conclusione, tratta dall'interpretazione grafica, è corretta. Fine.
I libri probabilmente trattano solo i poli semplici perché solo in quel caso ha qualche senso trascurare la divergenza di un integrale ricorrendo al trucchetto della simmetria. Infatti, solo in quel caso si trascura una divergenza solo logaritmica.
I libri probabilmente trattano solo i poli semplici perché solo in quel caso ha qualche senso trascurare la divergenza di un integrale ricorrendo al trucchetto della simmetria. Infatti, solo in quel caso si trascura una divergenza solo logaritmica.
Ti ringrazio , sei stato molto gentile.
PS:
Io ho ripreso pari pari le parole dal libro, con tanto di sottolineatura e neretto.
Se consideri:
$ lim_(epsilon -> o)int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)dx=-ipif(x_0) $
mentre se consideri :
$ lim_(epsilon -> o)int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)^3dx=-oo $
è qui che vedevo la discrepanza tra i due metodi.
Ora ho risolto , ti ringrazio ancora del tuo aiuto.
PS:
Anche sul Calogero , si sottolinea il fatto che la prescrizione del valor principale fornisca una definizione
finita dell' integrale effettuato su un cammino contenente singolarità , solo nel caso di polo semplice , in cui la finitezza del risultato è dovuta alla cancellazione dei contributi divergenti di segno opposto,
Io ho ripreso pari pari le parole dal libro, con tanto di sottolineatura e neretto.
Se consideri:
$ lim_(epsilon -> o)int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)dx=-ipif(x_0) $
mentre se consideri :
$ lim_(epsilon -> o)int_(C_epsilon)f(x)/(x-x_0)^3dx=-oo $
è qui che vedevo la discrepanza tra i due metodi.
Ora ho risolto , ti ringrazio ancora del tuo aiuto.
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