Valor Medio di funzione Negativa
Facendo qualche esercizio sul valor medio, non mi è mai capitato di trovarne uno che richiedesse di trovare il valor medio di una funzione negativa sull'intervallo da studiare, o che cambia segno in tale intervallo.
Così ho cercato un esercizio che facesse al caso mio e l'ho trovato:
"Trovare il valor medio della funzione $f(x)=cosx/sqrt(1+sinx)$ sull'intervallo $I=[π/2 ; π]$"
la funzione è negativa su tutto $I$
Facendo qualche calcolo:
$m(f; π/2,π)=1/(π-π/2)*int_(π/2)^πcosx/sqrt(1+sinx)dx=2/π*int_2^1 1/sqrt(t)dt=4/π(sqrt2-1)$
Che è un valore positivo, mentre si vede che la funzione è tutta negativa in quell'intervallo... come è possibile? devo cambiare segno?
E cosa succederebbe se la funzione cambiasse segno nell'intervallo? dovrei trovare due valori medi e farne la media?
Anche se onestamente mi sembra che la definzione di "valor medio della funzione su un intrvallo" abbia senso solo se la funzione non cambia segno in quell'intrvallo.
Così ho cercato un esercizio che facesse al caso mio e l'ho trovato:
"Trovare il valor medio della funzione $f(x)=cosx/sqrt(1+sinx)$ sull'intervallo $I=[π/2 ; π]$"
la funzione è negativa su tutto $I$
Facendo qualche calcolo:
$m(f; π/2,π)=1/(π-π/2)*int_(π/2)^πcosx/sqrt(1+sinx)dx=2/π*int_2^1 1/sqrt(t)dt=4/π(sqrt2-1)$
Che è un valore positivo, mentre si vede che la funzione è tutta negativa in quell'intervallo... come è possibile? devo cambiare segno?
E cosa succederebbe se la funzione cambiasse segno nell'intervallo? dovrei trovare due valori medi e farne la media?
Anche se onestamente mi sembra che la definzione di "valor medio della funzione su un intrvallo" abbia senso solo se la funzione non cambia segno in quell'intrvallo.
Risposte
ovviamente ho posto $1+sinx=t$
Hai sbagliato l'ultimo pezzo: infatti:
\[
\int_2^1 t^{-1/2}\ \text{d} t = 2\ \sqrt{t}\Big|_2^1 = 2(1-\sqrt{2})\; .
\]
\[
\int_2^1 t^{-1/2}\ \text{d} t = 2\ \sqrt{t}\Big|_2^1 = 2(1-\sqrt{2})\; .
\]
Ma si può mettere il valore pù grande al pedice dell'integrale?
Sì, perché per \(a
\int_b^a f(x)\ \text{d} x = -\int_a^b f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
così da assegnare un significato (coerente con tutte le solite proprietà dell'intgrale) al simbolo d'integrale anche quando il primo estremo è minore del secondo.
\int_b^a f(x)\ \text{d} x = -\int_a^b f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
così da assegnare un significato (coerente con tutte le solite proprietà dell'intgrale) al simbolo d'integrale anche quando il primo estremo è minore del secondo.
Lo terrò a mente, grazie.
Per quanto riguarda il mio secondo dubbio, non ha senso definire il valor medio su un intervallo nel quale la funzione cambia segno, vero?
Per quanto riguarda il mio secondo dubbio, non ha senso definire il valor medio su un intervallo nel quale la funzione cambia segno, vero?
E perché non dovrebbe averne? Anzi...
In molti importanti problemi di Analisi si richiede esplicitamente di determinare funzioni, non identicamente nulle, aventi media nulla e soddisfacenti determinate proprietà.
Se ci rifletti un attimo, affinché una funzione non identicamente nulla abbia media nulla, essa deve necessariamente cambiare segno nell'intervallo di integrazione.
In molti importanti problemi di Analisi si richiede esplicitamente di determinare funzioni, non identicamente nulle, aventi media nulla e soddisfacenti determinate proprietà.
Se ci rifletti un attimo, affinché una funzione non identicamente nulla abbia media nulla, essa deve necessariamente cambiare segno nell'intervallo di integrazione.
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