Validità condizione convergenza uniforme
Ciao,
Studiando le successioni di funzioni ho trovato questa condizione:
Siano $f_k(x)$ e $f(x)$ definite in $I$. La successione $f_k(x)$ converge uniformemente in $I$ a $f(x)$ se e solo se $lim_(n to +infty)max_(x in I)|f_k(x)-f(x)|=0$
Questa "regola" quando è valida? Perché nelle slide del corso c'è scritto che vale se le $f_k$ e $f$ sono limitate in $I$, ma vale anche in generale?
Aggiungo che non abbiamo fatto la dimostrazione a lezione.
Grazie
Studiando le successioni di funzioni ho trovato questa condizione:
Siano $f_k(x)$ e $f(x)$ definite in $I$. La successione $f_k(x)$ converge uniformemente in $I$ a $f(x)$ se e solo se $lim_(n to +infty)max_(x in I)|f_k(x)-f(x)|=0$
Questa "regola" quando è valida? Perché nelle slide del corso c'è scritto che vale se le $f_k$ e $f$ sono limitate in $I$, ma vale anche in generale?
Aggiungo che non abbiamo fatto la dimostrazione a lezione.
Grazie
Risposte
Ciao!
Qual è la definizione ‘principale’ di convergenza uniforme che usi?
Qual è la definizione ‘principale’ di convergenza uniforme che usi?
"anto_zoolander":
Ciao!
Qual è la definizione ‘principale’ di convergenza uniforme che usi?
Quella che dice che per ogni $epsilon$ e per ogni $x in I$ esiste $v in RR$ indipendente da $x$ tale che $|f_k(x)-f(x)|
Onestamente non sono molto d'accordo con quanto affermato nel primo post.
in genere si dimostra che la condizione di convergenza uniforme è equivalente a:
vale sia per funzioni limitate, che per funzioni illimitate.
Quella che dice la tua prof necessita di qualche ipotesi: per esempio se una successione di funzioni continue su un compatto converge uniformemente ad una funzione, allora essa sarà anche continua su un compatto. Quindi la funzione $|f_n(x)-f(x)|$ risulterebbe continua su un compatto e per Weierstrass ammetterebbe massimo assoluto, ma ci siamo messi in ipotesi abbastanza restrittive ed in generale non c'è certezza che quel massimo esista.
Quindi si usa il $s u p$ anziché il $max$.
in genere si dimostra che la condizione di convergenza uniforme è equivalente a:
$lim_(n->+infty)s u p_(x in I)|f_n(x)-f(x)|=0$
vale sia per funzioni limitate, che per funzioni illimitate.
Quella che dice la tua prof necessita di qualche ipotesi: per esempio se una successione di funzioni continue su un compatto converge uniformemente ad una funzione, allora essa sarà anche continua su un compatto. Quindi la funzione $|f_n(x)-f(x)|$ risulterebbe continua su un compatto e per Weierstrass ammetterebbe massimo assoluto, ma ci siamo messi in ipotesi abbastanza restrittive ed in generale non c'è certezza che quel massimo esista.
Quindi si usa il $s u p$ anziché il $max$.
@AnalisiZero: Non avresti potuto arrivarci da solo?
Ormai le tecniche del corso di Analisi I dovrebbero essere sedimentate e dovresti riuscire ad intuire anche da solo come giocare con le definizioni.
Ormai le tecniche del corso di Analisi I dovrebbero essere sedimentate e dovresti riuscire ad intuire anche da solo come giocare con le definizioni.
Scusa, avevo scritto $max$ solo perché non ero riuscito a scrivere sup in simboli. Quindi considerando l'estremo superiore ed essendo una definizione vale in generale (anche qualunque sia l'insieme $I$), ho capito bene?
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