Utilizzo operatore Nabla

[Fab527]

Date $ f,gin C^2(R^3) $ , $ f,g :R^3->R^3 $ devo verificare questa uguaglianza:

$ rot(fxx g)=(div g)*f+(g*grad )*f-(divf)*g-(f*grad)*g $

Il primo termine non mi dà problemi, svolgo prima il determinante della matrice per trovarmi il risultato del prodotto vettoriale e calcolo poi ulteriormente il determinante della matrice del rotore; senza particolari problemi ho calcolato anche i due termini $ (div g)*f $ e $ (divf)*g $ .

Ma come ci si comporta con i termini $ (g*grad)*f $ e $ (f*grad)*g $ dove è indicato il prodotto scalare tra la funzione e l'operatore Nabla? Io so che in fisica $ grad*f $ indica la divergenza, ma si può dire che $ grad*f=f*grad $ ???

Come si calcolano correttamente?

[sapo931]

Ciao,

"Fab527":

Ma si può dire che $ grad*f=f*grad $ ???

Ti riscrivo per comodità la definizione di prodotto scalare tra vettori di uno spazio vettoriale $V$ su $RR$[nota]Su $CC$ devi cambiare qualche dettaglio, in particolare la funzione prodotto scalare deve essere antilinerare in $y$ e al posto della $2)$ devi avere $< x, y > = bar{< y , x >}$[/nota]:

Prodotto Scalare: $ : V -> [0, infty) subset RR $

Una funzione definita nel modo di cui sopra è un prodotto scalare se:

$1)$ è bilineare sia in $x$ che in $y$, ovvero:

Linearità in $x$: $< x + z, y > = + < z, y>$ $AAx, y, z in V$
Linearità in $y$: $< x, y + z > = < x, y > + < x, z>$ $AAx, y, z in V$
Omogeneità: $< ax, y > = < x, ay> = a< x, y>$ $AAx, y, z in V$, $AAa in RR$


$2)$ è simmetrico:

$< x, y > = < y, x >$ ($AAx, y in V$)


$3)$ è definito positivo
(alcuni autori non richiedono questa parte, quelli che la richiedono definiscono semiprodotto scalare una funzione che verifica solo le prime due proprietà).

$< x, x > >= 0$ ($AAx in V$)

$ = 0 leftrightarrow x = 0 $ ($AAx in V$)



Considerando quindi il tuo caso, hai il prodotto scalare tra funzioni dello spazio vettoriale $C^2(R^3)$[nota]Tralasciando qui tutta la discussione sul come questo sia uno spazio vettoriale (di funzioni) e su $grad$[/nota].

Hai dunque per la proposizione $2)$

$ grad*f=f*grad $

[Emar1]

"sapo93":Ciao,

[quote="Fab527"]

Ma si può dire che $ grad*f=f*grad $ ???

[...]

Considerando quindi il tuo caso, hai il prodotto scalare tra funzioni dello spazio vettoriale $C^2(R^3)$.

Hai dunque per la proposizione $2)$

$ grad*f=f*grad $[/quote]

Direi che è sbagliato. $grad$ non è certo una funzione ma un operatore differenziale. Le operazioni vettoriali che coinvolgono l'operatore $grad$ sono formali.

Nello specifico, la scrittura $f * grad$, molto diffusa ad esempio in meccanica dei continui, è un modo formale per rappresentare l'operatore:
\[\mathbf{T} = \sum f_i \frac{\partial}{\partial x_i}\]
Che è ben diverso dalle divergenza di $f$. In questo caso infatti la funzione $f$ entra a far parte della definizione dell'operatore differenziale, nel caso della divergenza invece, la $f$ è l'oggetto a cui viene applicato l'operatore divergenza.

[dissonance]

Sono d'accordo con Emar. @sapo93: La teoria astratta che citi non si applica qui. Si tratta solo di convenzioni, a volte fuorvianti; qualcuno ci ha scritto un articolo:

http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7869

[Fab527]

Ok perciò si dovrebbe avere:

$ g*nabla=g_x(partial)/(partial x) +g_y(partial)/(partial y) +g_z(partial)/(partial z) $
$ (g*nabla)*f=g_x(partialf_x)/(partial x) +g_y(partialf_y)/(partial y) +g_z(partialf_z)/(partial z) $

$ f*nabla=f_x(partial)/(partial x) +f_y(partial)/(partial y) +f_z(partial)/(partial z) $
$ (f*nabla)*g=f_x(partialg_x)/(partial x) +f_y(partialg_y)/(partial y) +f_z(partialg_z)/(partial z) $

ma a questo punto come faccio a sommare e sottrarre questi termini (che sono dei numeri) a quelli del tipo $ (divf)*g $ che sono dei vettori? Manca consistenza dimensionale

[Emar1]

Credo che l'operatore in questione possa essere applicato sia hai campi vettoriali (come in questo caso), sia ai campi scalari.

Nel secondo caso abbiamo:
\[(\mathbf{u} \cdot \nabla) f = \sum u_i \frac{\partial f}{\partial x_i}\]
e quindi uno scalare.

Nel caso vettoriale invece abbiamo:
\[(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{v} = \sum u_i \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x_i}\]
che é una somma di tre vettori!

Aggiungo: una cosa che può averti creato confusione é anche quel puntino di prodotto scalare che hai messo, ma che non ci va!

[Nietzsche610]

Faccio una piccola puntualizzazione sul termine $\bbu*\nabla\bbv$.
Si tratta di un vettore, d'altra parte è usato in un'equazione vettoriale.
Potete definire il gradiente di un vettore in questo modo:

$\nabla(\bbv)=(\partialv_i)/(\partialx_j):=V_(ij)=\bbV$,

dove la somma è fatta prima su $j$ e poi su $i$.
A questo punto è chiaro che:

$\bbu*\nabla\bbv=u_iV_(ij)=(uV)_j=\bbu^T\bbV$.