Utilizzo e interpretazione dei simboli di Landau

[GianlucaFerro]

Ciao a tutti,vorrei chiedervi un chiarimento riguardo alla logica dietro l'utilizzo degli o piccoli.
Ad esempio,non mi è chiaro il perchè dell'affermazione:
o(x^4)=o(x^3)
In particolare,ne ho capito la dimostrazione a livello analitico,tuttavia a livello logico non mi quadra;
La mia interpretazione dell'equazione di sopra infatti è:"qualcosa di più piccolo di x^4 è più piccolo di x^3"
Ma questo non è necessariamente vero,perchè x^3 è minore di x^4.
Questi dubbi mi sono venuti affrontando l'argomento del polinomio di taylor,infatti alla luce di questi dubbi,non mi è chiaro perchè se aumenta il grado della x all'interno dell'o piccolo,l'approssimazione è migliore.
Infatti,se dico che "f=qualcosa + o(x^3)",non sto anche affermando che "f=qualcosa + o(x^4)"?
Spero abbiate capito i miei dubbi e vi ringrazio in anticipo

[donald_zeka]

un o-piccolo di $x^(alpha)$ è qualcosa che tende a zero più velocemente di $x^(alpha)$, e dovresti sapere chi tra $x^4$ e $x^3$ tende a zero più velocemente...e quindi l'affermazione $o(x^4)=o(x^3)$ è banalmente vera

[dissonance]

Non è così banale: bisogna specificare a cosa tende \(x\). Sicuramente sarà \(x\to 0 \). In questo caso quindi \(x\) assume valori piccoli, e per valori piccoli non è vero che \(x^3\) è più piccolo di \(x^4\), perché è vero il contrario: fai la prova con \(x=\frac12\).