Utilizzo di Prodotti Scalari, Norme, Metriche etc..

[lordb]

Ciao a tutti,
probabilmente è una domanda un po' stupida ma non mi è molto chiara la seguente questione.

Ogni spazio (di Hilbert e mensurale) noto (ovvero non uno di quelli che costruisco io) è diversamente equipaggiato di un concetto di prodotto scalare, norma, metrica, misura (e topologia).
Queste operazioni non devono fare "a pugni", ovvero: il prodotto scalare mi induce una norma che a sua volta mi induce una metrica.

Non posso usare al contempo stesso un prodotto scalare e una norma che non sia indotta da esso, vero?

L'ottica degli spazi $L^p$ mi sembra leggermente diversa, in quanto essi sono in partenza degli spazi normati.
Se $p>1$ sono anche completi (quindi di Banach), se $p=2$ viene rispettata la regola del parallelogramma e quindi esiste un prodotto scalare che mi induca la norma in $L^2$.

Se vale lo stesso discorso di prima quindi non posso usare usare un prodotto scalare negli spazi $L^p$ con $p!=2$, dal momento che questo non sarebbe coerente con la norma, giusto?

Ho visto che nello spazio delle funzioni continue su un intervallo $IsubRR$ si utilizza la stessa norma e prodotto scalare di $L^2(I)$, questo perchè se $f:RR->CC$, $finC(I) => finL^2(I)$ ?

Poi non mi è chiaro cosa contenga $C(RR)$, funzioni continue su $RR$ o funzioni continue quasi ovunque ?
Se fossero continue quasi ovunque bisognerebbe mettere l'ipotesi della limitatezza, in tal caso $C(RR)$ non coinciderebbe con lo spazio delle funzioni di Riemann ?

Inoltre $C(RR)$ mi sembra vastissimo, ha una struttura ben precisa (es: $L^2(RR)$) o posso scegliere io il prodotto scalare, norma etc... (a patto che siano coerenti) ?

Ultima domanda: Non mi è chiaro la dipendenza o meno del prodotto scalare con la base dello spazio su cui è definito. Ad esempio il prodotto scalare nello spazio euclideo prevede l'utilizzo della base canonica.
In questi spazi non è stata specificata la base prima di definire il prodotto scalare, ergo posso sceglierne una a caso (o deve essere ortogonale, magari ortonormale)?
Posso inoltre definire un prodotto scalare su spazi non lineari ?

Scusate per le millemila domande

Grazie in anticipo

[xnix]

"lordb":Non posso usare al contempo stesso un prodotto scalare e una norma che non sia indotta da esso, vero?

è il prodotto scalare che ti induce alla norma che di conseguenza ti porta a definire la distanza. $H=$ tale da renderlo uno spazio metrico. per le altre non saprei dirti, scusa!

[lordb]

Grazie della risposta.

Il mio riferimento era agli spazi $L^p$ con $p!=2$ che sono muniti di una norma ma non di un prodotto scalare.

"xnix":
.... ti porta a definire la distanza. $H=$ tale da renderlo uno spazio metrico.

Se ho un prodotto scalare $<.,.>$, esso mi induce una norma $||.||$ che mi induce una metrica $d(.,.)$.
Quindi se $(X,<.,.>)$ è uno spazio di Hilbert e $a,b in X$ ho che:

$sqrt()=||a-b||=d_X(a,b)$.

Alla luce di ciò, non capisco il senso di quello che hai scritto.

[gugo82]

"lordb":Ciao a tutti,
probabilmente è una domanda un po' stupida ma non mi è molto chiara la seguente questione.

Ogni spazio (di Hilbert e mensurale) noto (ovvero non uno di quelli che costruisco io) è diversamente equipaggiato di un concetto di prodotto scalare, norma, metrica, misura (e topologia).
Queste operazioni non devono fare "a pugni", ovvero: il prodotto scalare mi induce una norma che a sua volta mi induce una metrica.

Non posso usare al contempo stesso un prodotto scalare e una norma che non sia indotta da esso, vero?

E perché no?

Su uno stesso spazio puoi mettere tutte le topologie che vuoi.
Ad esempio, su \(C([0,1])\) si possono mettere le topologie (metriche) indotte da tutte le norme \(L^p\) per \(p\in [1,\infty]\) ed è interessante studiare le relazioni che intercorrono tra tali topologie.
Infatti, si scopre che la norma di \(L^\infty\) (che coincide con l'usuale norma del massimo) è l'unica che rende \(C([0,1])\) uno spazio metrico completo; che le palle in norma \(L^q\) sono tutte contenute in palle in norma \(L^p\) per ogni \(1\leq p
Anzi, una delle tecniche fondamentali dell'Analisi Funzionale consiste nell'introdurre in spazi funzionali topologie che contengano meno aperti di una preesistente (e.g., la topologia naturale di \(L^p\)); tali topologie vengono dette topologie deboli e sono oltremodo utili perché, contenendo meno aperti, fanno sì che nello spazio in esame aumentino gli insiemi compatti (e quindi risulta più agevole usare la compattezza per dimostrare l'esistenza dei minimi e dei massimi).

"lordb":L'ottica degli spazi $L^p$ mi sembra leggermente diversa, in quanto essi sono in partenza degli spazi normati.
Se $p>1$ sono anche completi (quindi di Banach), se $p=2$ viene rispettata la regola del parallelogramma e quindi esiste un prodotto scalare che mi induca la norma in $L^2$.

Se vale lo stesso discorso di prima quindi non posso usare usare un prodotto scalare negli spazi $L^p$ con $p!=2$, dal momento che questo non sarebbe coerente con la norma, giusto?

E che te ne frega?
Tu puoi dover essere costretto ad introdurre un prodotto scalare, perché ti serve a fare qualcosa... Se poi questo prodotto non "cozza" con la topologia preesistente (e.g., è continuo) è meglio.

"lordb":Ho visto che nello spazio delle funzioni continue su un intervallo $IsubRR$ si utilizza la stessa norma e prodotto scalare di $L^2(I)$, questo perchè se $f:RR->CC$, $finC(I) => finL^2(I)$ ?

Esatto.

"lordb":Poi non mi è chiaro cosa contenga $C(RR)$, funzioni continue su $RR$ o funzioni continue quasi ovunque ?

Funzioni continue.

"lordb":Se fossero continue quasi ovunque bisognerebbe mettere l'ipotesi della limitatezza, in tal caso $C(RR)$ non coinciderebbe con lo spazio delle funzioni di Riemann ?

Cosa sono le "funzioni di Riemann"?

"lordb":Inoltre $C(RR)$ mi sembra vastissimo, ha una struttura ben precisa (es: $L^2(RR)$) o posso scegliere io il prodotto scalare, norma etc... (a patto che siano coerenti) ?

Come detto, puoi fare ciò che vuoi.
Ad esempio, puoi definire un prodotto scalare del tipo:
\[
\langle f,g\rangle := \int f(x)\ g(x)\ \text{d} \mu
\]
in cui \(\mu\) è una misura diversa da quella usuale su \(\mathbb{R}\).

Ah, però \(C(\mathbb{R})\) è un po' fetente come spazio (è effettivamente grandissimo).

"lordb":Ultima domanda: Non mi è chiaro la dipendenza o meno del prodotto scalare con la base dello spazio su cui è definito. Ad esempio il prodotto scalare nello spazio euclideo prevede l'utilizzo della base canonica.
In questi spazi non è stata specificata la base prima di definire il prodotto scalare, ergo posso sceglierne una a caso (o deve essere ortogonale, magari ortonormale)?

Qui sei in spazi vettoriali infinito-dimensionale, quindi il discorso sulle basi non è così semplice come in Algebra Lineare.
Quando arriverai a trattare i sistemi ortonormali e le basi hilbertiane vedrai come fare ciò che hai intuito.

"lordb":Posso inoltre definire un prodotto scalare su spazi non lineari ?

Un prodotto scalare è un funzionale bilineare (o sesquilineare, nel caso complesso); quindi se non hai un'addizione ed un prodotto per lo scalare, credi sia possibile parlare di bilinearità?

[lordb]

Wow grazie mille gugo, per fortuna che ci sei te a mettere a posto le mie sconclusionate idee.

In tal caso mi sembra chiaro che quando si parla di ortogonalità tra funzioni appartenenti a un certo spazio pre-hilbertiano sia necessario specificare quale prodotto scalare si stia utilizzando.

Ad esempio se scrivo $x,yinL^2(RR)$, $_2=0$ questa scrittura non sottointende che quel prodotto scalare sia quello che induca la norma di $L^2(RR)$: $||.||_2$(che invece non va specificata dal momento che è quella che mi caratterizza lo spazio)?

Per precisione dovrei quindi scrivere: $x,yin(L^2(RR),<.,.>_2)$ dove $||.||_2=sqrt(<.,.>_2)$. (e magari aggiungere anche una topologia, oppure utilizzare la metrica indotta da $||.||_2$).

Che la misura sia quella di Lebesgue direi che è anche quella sottointesa nello spazio, ad esempio se usassi quella di Hausdorff in $L^2(RR^N)_(NinNN)$ cambierei la definizione di $L^2$ (specie nell'identificazione di funzioni uguali quasi ovunque).

p.s. congratulazioni, vedo solo ora che sei tornato moderatore (ora globale).
p.p.s. per me una funzione $f:RR->RR$ è di Riemann se $f$ è limitata ed integrabile (secondo Riemann).

[gugo82]

"lordb":In tal caso mi sembra chiaro che quando si parla di ortogonalità tra funzioni appartenenti a un certo spazio pre-hilbertiano sia necessario specificare quale prodotto scalare si stia utilizzando.

Certo.

"lordb":Ad esempio se scrivo $x,yinL^2(RR)$, $_2=0$ questa scrittura non sottointende che quel prodotto scalare sia quello che induca la norma di $L^2(RR)$: $||.||_2$(che invece non va specificata dal momento che è quella che mi caratterizza lo spazio)?

Per precisione dovrei quindi scrivere: $x,yin(L^2(RR),<.,.>_2)$ dove $||.||_2=sqrt(<.,.>_2)$. (e magari aggiungere anche una topologia, oppure utilizzare la metrica indotta da $||.||_2$).

Sì, vabbé, ma così appesantiresti enormemente la notazione...
Quando si scrive \(L^2(\mathbb{R}^N)\) si dà per scontato che lo spazio sia quello delle funzioni a quadrato sommabile rispetto alla misura di Lebesgue di \(\mathbb{R}^N\), il quale è dotato del prodotto scalare "naturale":
\[
\langle f,g\rangle := \int_{\mathbb{R}^N} f(x)\ \overline{g}(x)\ \text{d} x
\]
ove \(\overline{\cdot}\) denota il coniugato complesso.

Se lo spazio è costruito secondo un'altra misura \(\mu \), essa si denota (quasi) sempre esplicitamente: ad esempio, si può usare il simbolo \(L^2(\mathbb{R}^N,\mu)\) per denotare lo spazio che è dotato del prodotto scalare:
\[
\langle f,g\rangle_\mu := \int_{\mathbb{R}^N} f(x)\ \overline{g}(x)\ \text{d} \mu\; ,
\]
il quale induce la norma:
\[
\| f\|_{2,\mu}:= \sqrt{\int_{\mathbb{R}^N} |f(x)|^2\ \text{d} \mu}\; .
\]
Ovviamente in \(L^2(\mathbb{R}^N,\mu)\) ci sono le funzioni \(\mu\)-misurabili che hanno \(\int_{\mathbb{R}^N} |f(x)|^2\ \text{d} \mu <+\infty\).

Ciò implica che in \(L^2(\mathbb{R}^N,\mu)\) possono esserci funzioni che non appartengono a \(L^2(\mathbb{R}^N)\) e viceversa... Ad esempio, per \(N=1\), pensa allo spazio \(L^2\) fatto rispetto alla misura gaussiana \(\gamma\) su \(\mathbb{R}\), la quale è definita come segue:
\[
\gamma (E):= \int_E \frac{1}{\sqrt{\pi}}\ \exp(-x^2)\ \text{d} x
\]
sulla famiglia dei misurabili secondo Lebesgue (o, come si usa scrivere di solito \(\text{d} \gamma = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\ \exp(-x^2)\ \text{d} x\)). Hai \(f\in L^2(\mathbb{R}, \gamma)\) se e solo se:
\[
\int_{-\infty}^\infty f^2(x)\ \text{d} \gamma := \frac{1}{\sqrt{\pi}}\ \int_{-\infty}^\infty f^2(x)\ \exp(-x^2)\ \text{d} x <+\infty\; ;
\]
visto che \(0<\exp (-x^2)\leq 1\) è limitata, hai:
\[
\int_{-\infty}^\infty f^2(x)\ \text{d} \gamma \leq \frac{1}{\sqrt{\pi}}\ \int_{-\infty}^\infty f^2(x)\ \text{d} x
\]
e ciò implica che \(f\in L^2(\mathbb{R})\ \Rightarrow\ f\in L^2(\mathbb{R},\gamma)\), sicché \(L^2(\mathbb{R})\subseteq L^2(\mathbb{R},\gamma)\); ma non vale il viceversa, poiché, per esempio, la funzione:
\[
\begin{split}
f(x) &:= \frac{1}{\sqrt{x}}\ \chi_{]1,\infty[} (x)\\
&=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} &\text{, se } x>1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\end{split}
\]
sta in \(L^2(\mathbb{R},\gamma)\) ma non sta in \(L^2(\mathbb{R})\). Quindi, in questo caso, \(L^2(\mathbb{R},\gamma)\) è strettamente più grande di \(L^2(\mathbb{R})\).
Se invece prendi la misura \(\mu\) definita sulla famiglia dei misurabili secondo Lebesgue da:
\[
\mu(E) := \int_E x^2\ \text{d} x
\]
(o, come si suol scrivere, \(\text{d} \mu =x^2\ \text{d} x\)), ti accorgi che \(L^2(\mathbb{R},\mu)\) è strettamente più piccolo di \(L^2(\mathbb{R})\).

"lordb":Che la misura sia quella di Lebesgue direi che è anche quella sottointesa nello spazio, ad esempio se usassi quella di Hausdorff in $L^2(RR^N)_(NinNN)$ cambierei la definizione di $L^2$ (specie nell'identificazione di funzioni uguali quasi ovunque).

Nota che la misura di Haussdorf \(N\)-dimensionale su \(\mathbb{R}^N\) coincide con quella di Lebesgue a meno di una costante moltiplicativa: infatti, la misura di Lebesgue è caratterizzata dall'essere l'unica misura di Borel positiva regolare che sul cubo \([0,1]^N\) assume valore unitario, quindi ogni altra misura di Borel positiva regolare \(\mu\) definita su \(\mathbb{R}^N\) coincide con quella di Lebesgue moltiplicata per un'opportuna costante positiva.

"lordb":Wow grazie mille gugo, per fortuna che ci sei te a mettere a posto le mie sconclusionate idee.

Prego.

"lordb":p.s. congratulazioni, vedo solo ora che sei tornato moderatore (ora globale).

Grazie.

"lordb":p.p.s. per me una funzione $f:RR->RR$ è di Riemann se $f$ è limitata ed integrabile (secondo Riemann).

Ah, OK.

[lordb]

Ok perfetto, ti ringrazio tanto