Utilizzo di de l'Hopital con integrale improprio

[EuMil1]

Salve a tutti. Sono un nuovo utente, quindi scusatemi se non ho riportato questo problema nel giusto spazio.

Ho un problema con questo limite, non riesco a capire dove mettere le mani.

$ lim_(x -> 0+) ((x-2)int_(0)^(sqrt(x)) sint dt)/x^2 $

Ho provato ad utilizzare de l'Hopital (essendo una 0/0) ma non riesco proprio a capire come fare le derivate, soprattutto la derivata del limite.

Grazie mille in anticipo!

[Mephlip]

Ciao! La sezione in cui hai scritto il messaggio è giusta; venendo al problema, innanzitutto non capisco perché dici che l'integrale è improprio nel titolo, non mi sembra che sia improprio.
Per la derivata, non devi fare la derivata del limite bensì il limite del rapporto avente al numeratore la derivata del numeratore e al denominatore la derivata del denominatore.

[pilloeffe]

Ciao EuMil,

Benvenuto sul forum!

Nel caso specifico del limite proposto è più comodo risolvere l'integrale, che è molto semplice:

$\int_0^{sqrt{x}} sin t \text{d}t = 1 - cos\sqrt{x} $

Per cui, senza neanche fare uso della regola di de l'Hôpital, si ha:

$ \lim_{x \to 0^+} ((x-2)int_(0)^(sqrt(x)) sint \text{d}t)/x^2 = \lim_{x \to 0^+} ((x-2)(1 - cos\sqrt{x}))/x^2 = ... = -\infty $

[EuMil1]

Grazie mille!