Uso di una identità trigonometrica in un integrale

[ludwigZero]

Dovei risolvere:

$int 1/(sin x + cos x) dx$

il libro (sbordone) mi indica una strada, ma io vorrei prendere un'altra:
ho notato che:
$sin x + cos x = sqrt sin (x+pi/4)$

quindi l'integrale verrebbe:

$int 1/(sqrt sin (x+pi/4)) dx$

con una sostituzione il risultato verrebbe:

$log (sin (x+pi/4)/2) - log(cos(x+pi/4)/2)$

il tutto integrato sull'intervallo: $[0,pi/2]$

ho provato a fare i calcoli, prima da me, e poi con wolfram, ma pare non essere concorde con il risultato del libro ovvero:

$(sqrt(2))/2 log ((sqrt(2) -1)/(sqrt(2) +1))$

dato che vorrei seguire questa strada (quella della sostituzione iniziale) qualcuno ha da offrirmi qualche trucco?

(per chi ha lo sbordone è a pag 200 volume 2!)

[Gi81]

"ludwigZero":...ho notato che: $sin x + cos x = sqrt sin (x+pi/4)$ ...

Al limite $sin x + cos x = sqrt2 * sin (x+pi/4)$

[theras]

Ciao!
A me par che quella da te considerata come identità sia,piuttosto,un'equazione trigonometrica:
forse volevi dire che $senx+cosx=sqrt(2)(1/(sqrt(2))senx+1/(sqrt(2))cosx)=sqrt(2)(text {cos}pi/4senx+sen pi/4cosx)=sqrt(2)sen(x+pi/4)$,
e piuttosto a quel punto sarebbe il caso di chiedersi come risolvere il classico $int1/(sent)dt$,
senza ricorrere a funzioni nel campo complesso..
Saluti dal web.
Edit:
era già troppo tempo che non capitava la contemporaneità!

[ludwigZero]

"Gi8":[quote="ludwigZero"]...ho notato che: $sin x + cos x = sqrt sin (x+pi/4)$ ...

Al limite $sin x + cos x = sqrt2 * sin (x+pi/4)$[/quote]


cito theras ma è come se citassi anche gi8

la mia paperata di non aver ricontrollato per bene l'equazione trigonometrica, è quella che avete scritto voi
da una tabella che ho e da wolfram quell'integrale sarebbe:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2Fsin+x+dx

e a posto di $t = x + pi/4)$

ritrovandomi nel caso da me inizialmente postato :/

[Gi81]

\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\text{d} x}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{\sqrt2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\text{d} x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\quad\text{ sostituzione: }\quad t= x+\frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi} \frac{\text{d} t}{\sin t} \)

Ora, \(\displaystyle \int \frac{dt}{\sin t}= \log\left|\tan \left(\frac{t}{2}\right)\right| \)
Se lo calcoliamo in $t=3/4 pi$ abbiamo $log(1+sqrt2)$
Se lo calcoliamo in $t=pi/4$ abbiamo $log(sqrt2 -1)$

Dunque il risultato finale è $sqrt2/2 * log((1+sqrt2)/(sqrt2-1))$


Ovviamente si può semplificare notevolmente: $(1+sqrt2)/(sqrt2-1)= (1+sqrt2)^2$
Dunque $sqrt2 log(1+sqrt2)$

[ludwigZero]

perfetto! grazie per lo svolgimento!