Uso del criterio di convergenza di Leibniz per test convergenza uniforme

[gorgeous.george]

Salve a tutti!
Sto tentando di capire come venga utilizzato il criterio di Leibniz per la convergenza di serie a termini di segno alternato, per provare la convergenza uniforme di una serie di funzioni; credo di avere capito ma mi rimane un dubbio.
Chiedo quindi conferma del mio ragionamento:
poiche' per il criterio di Leibniz abbiamo che $|S- s_n|<=s_(n+1), AA n in \NN$, e $|sum_(k = n+1)^(n+p) s_k|=|S-s_n|$ per $p=oo$, se si riesce a trovare una maggiorazione $s_(n+1)<\epsilon$ indipendente da $x$ che sia valida da un certo $bar(n)$ in avanti , allora per il criterio della convergenza uniforme di Cauchy abbiamo dimostrato la tesi.

Il passaggio di cui non sono sicuro e' affermare che $|sum_(k = n+1)^(n+p) s_k|=|S-s_n|$ per $p=oo$ ; e' corretto?

Grazie in anticipo

G

[Rigel1]

"gorgeous.george":Il passaggio di cui non sono sicuro e' affermare che $|sum_(k = n+1)^(n+p) s_k|=|S-s_n|$ per $p=oo$ ; e' corretto?

Eventualmente vale quando prendi il limite per \(p\to +\infty\), ma non è necessario; ti basta la stima
\[
|S(x) - s_n(x)| \leq s_{n+1}(x).
\]
Se hai una maggiorazione del tipo
\[
|s_{n+1}(x)| \leq \epsilon_{n+1} \qquad \forall x,
\]
con \(\epsilon_n \to 0\), hai dimostrato la convergenza uniforme della serie.

[gorgeous.george]

"Rigel":ti basta la stima
\[
|S(x) - s_n(x)| \leq s_{n+1}(x).
\]
Se hai una maggiorazione del tipo
\[
|s_{n+1}(x)| \leq \epsilon_{n+1} \qquad \forall x,
\]
con \(\epsilon_n \to 0\), hai dimostrato la convergenza uniforme della serie.

Grazie, non ci avevo pensato in effetti!

G