Uso appropriato Criterio del Rapporto: Serie numeriche ...
Salve;
volevo esporvi un dubbio riguardo ad una parte del programma di analisi matematica che sto studiando..
come da titolo riguarda il criterio del rapporto per le serie numeriche; non tanto nel capire i concetti o la dimostrazione in sè, ma quanto nell'interpretare il modo corretto di utilizzo;
Ho avuto modo di leggere che, si usa "di solito", nel caso di rapporto tra "infiniti di ordine diverso.
ma non so bene quando conviene usarlo e quando non conviene assolutamente perchè ci "dilunga" la strada ...
a tal proposito vi propongo uno dei primissimi esercizi che mi appresto a svolgere:
studiare il carattere della seguente serie.
$sum_(n=1)^infty (4n^2+n+1)/(n^3+5n+2) ;$
si tratta di una serie a termini positivi....
potrei utilizzare in questo caso il criterio del rapporto ?.... o ci sarebbe una via più "facile" per arrivare al giusto risultato...
sto iniziando ora con le serie e quindi soprattutto nella pratica sono molto bloccato
qualsiasi consiglio pratico per la risoluzione in generale delle serie è ben accetto ...
grazie dell'attenzione
Cordiali saluti...
volevo esporvi un dubbio riguardo ad una parte del programma di analisi matematica che sto studiando..
come da titolo riguarda il criterio del rapporto per le serie numeriche; non tanto nel capire i concetti o la dimostrazione in sè, ma quanto nell'interpretare il modo corretto di utilizzo;
Ho avuto modo di leggere che, si usa "di solito", nel caso di rapporto tra "infiniti di ordine diverso.
ma non so bene quando conviene usarlo e quando non conviene assolutamente perchè ci "dilunga" la strada ...
a tal proposito vi propongo uno dei primissimi esercizi che mi appresto a svolgere:
studiare il carattere della seguente serie.
$sum_(n=1)^infty (4n^2+n+1)/(n^3+5n+2) ;$
si tratta di una serie a termini positivi....
potrei utilizzare in questo caso il criterio del rapporto ?.... o ci sarebbe una via più "facile" per arrivare al giusto risultato...
sto iniziando ora con le serie e quindi soprattutto nella pratica sono molto bloccato
qualsiasi consiglio pratico per la risoluzione in generale delle serie è ben accetto ...
grazie dell'attenzione
Cordiali saluti...
Risposte
Non userei mai il criterio del rapporto, allungherebbe di molto la risoluzione.
Userei il criterio dell'asintotico, cioè:
$\sum (4n^2)/(n^3)$ che diventa $\sum 4/n$
$4$ è una costante, non ci interessa ai fini dello studio del comportamento della serie.
E' una serie armonica, divergente
Userei il criterio dell'asintotico, cioè:
$\sum (4n^2)/(n^3)$ che diventa $\sum 4/n$
$4$ è una costante, non ci interessa ai fini dello studio del comportamento della serie.
E' una serie armonica, divergente
Esattamente come ha detto clever, in questi casi fai un semplice confronto con la serie armonica divergente 1/n, passando al limite la tua serie fratto la serie confronto, e vedi che chiaramente la tua serie è asintotica alla serie armonica divergente, quindi hanno lo stesso carattere e deduci che la tua serie diverge.
Ti consiglio di usare il criterio del rapporto quando hai serie in cui si presentano dei fattoriale in modo che te li togli via facilmente!
[/tex]
Ti consiglio di usare il criterio del rapporto quando hai serie in cui si presentano dei fattoriale in modo che te li togli via facilmente!
[/tex]
"clever":
Non userei mai il criterio del rapporto, allungherebbe di molto la risoluzione.
Userei il criterio dell'asintotico, cioè:
$\sum (4n^2)/(n^3)$ che diventa $\sum 4/n$
$4$ è una costante, non ci interessa ai fini dello studio del comportamento della serie.
E' una serie armonica, divergente
sembrerebbe una banalità... diciamo che lo è; hai semplificato l'espressione ai massimi esponenti come si usa nel calcolo dei limiti... e poi hai confrontato con $1/n$
ma c'è qualcosa che non mi torna...
per usare il criterio del confronto asintotico non dovrebbe essere presente "come ipotesi" l'esistenza di un limite ?
$lim_( n to infty) [ ( 4n^2+n+1)/(n^3+5n+2)]/[{b_(n)}]= l $
quindi in questo caso dovremmo sapere a priori con quale serie bisogna confrontare... ?
grazie dei chiarimenti!
Puoi anche,più semplicemente, usare il criterio dell'ordine di infinitesimo.
Infatti [tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+n+1}{n^3+5n+2} = 0$[/tex] con ordine [tex]$1$[/tex]; quindi la serie non converge,cioè diverge ([tex]$\text{non convergenza = divergenza}$[/tex] solo perché la serie è a termini positivi).
Potresti verificare la divergenza anche usando il test dell'integrale.
Infatti [tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+n+1}{n^3+5n+2} = 0$[/tex] con ordine [tex]$1$[/tex]; quindi la serie non converge,cioè diverge ([tex]$\text{non convergenza = divergenza}$[/tex] solo perché la serie è a termini positivi).
Potresti verificare la divergenza anche usando il test dell'integrale.
"Mathcrazy":
Puoi anche,più semplicemente, usare il criterio dell'ordine di infinitesimo.
Infatti [tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+n+1}{n^3+5n+2} = 0$[/tex] con ordine [tex]$1$[/tex]; quindi la serie non converge,cioè diverge ([tex]$\text{non convergenza = divergenza}$[/tex] solo perché la serie è a termini positivi).
Potresti verificare la divergenza anche usando il test dell'integrale.
capito... ma per quanto riguarda la domanda di prima sul "limite" del criterio asintotico ?
Ps: math , con quale infinitesimo hai confrontato $(4n^2+n+1)/(n^3+5n+2)$ per essere di ordine 1 e quindi con $l!=0$ , con $n$ giusto ?
Te la spiego in maniera semplice semplice
Partiamo, per l'appunto, dal limite:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+n+1}{n^3+5n+2}$[/tex]
E' possibile scrivere questo limite in una forma più semplice:
Puoi ragionare in due modi:
1. (Brutale)
Al numeratore metto in evidenza [tex]$n^2$[/tex] ; mentre al denominatore [tex]$n^3$[/tex], così da ottenere:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 (4+ \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^3(1+ \frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^2})}$[/tex]
per [tex]$n \to +\infty$[/tex], tutte le frazioni (nelle parentesi) vanno a [tex]$0$[/tex] (poiché [tex]$\frac{1}{\infty}=0$[/tex]), quindi il limite diventa:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 (4)}{n^3(1)}$[/tex]
Semplifico ulteriormente:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4}{n} = 0$[/tex]
Adesso è facile vedere che questo limite, va' a [tex]$0$[/tex] con ordine [tex]$1$[/tex].
2.
Oppure basta semplicemente osservare che, al numeratore e denominatore, tutti gli infiniti di ordine minore possono essere trascurati quindi:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+n+1}{n^3+5n+2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+ \not{n}+\not{1}}{n^3+\not{5n}+\not{2}} =$[/tex]
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2}{n^3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{n} = 0$[/tex]
con ordine [tex]$1$[/tex], per lo stesso motivo di prima.
Cioè con queste due "tecniche", ti ho ricondotto il limite iniziale, ad una forma molto più semplice, sulla quale è facile fare considerazioni su l'ordine.
Partiamo, per l'appunto, dal limite:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+n+1}{n^3+5n+2}$[/tex]
E' possibile scrivere questo limite in una forma più semplice:
Puoi ragionare in due modi:
1. (Brutale)
Al numeratore metto in evidenza [tex]$n^2$[/tex] ; mentre al denominatore [tex]$n^3$[/tex], così da ottenere:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 (4+ \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^3(1+ \frac{5}{n^2}+\frac{2}{n^2})}$[/tex]
per [tex]$n \to +\infty$[/tex], tutte le frazioni (nelle parentesi) vanno a [tex]$0$[/tex] (poiché [tex]$\frac{1}{\infty}=0$[/tex]), quindi il limite diventa:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 (4)}{n^3(1)}$[/tex]
Semplifico ulteriormente:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4}{n} = 0$[/tex]
Adesso è facile vedere che questo limite, va' a [tex]$0$[/tex] con ordine [tex]$1$[/tex].
2.
Oppure basta semplicemente osservare che, al numeratore e denominatore, tutti gli infiniti di ordine minore possono essere trascurati quindi:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+n+1}{n^3+5n+2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2+ \not{n}+\not{1}}{n^3+\not{5n}+\not{2}} =$[/tex]
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2}{n^3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{n} = 0$[/tex]
con ordine [tex]$1$[/tex], per lo stesso motivo di prima.
Cioè con queste due "tecniche", ti ho ricondotto il limite iniziale, ad una forma molto più semplice, sulla quale è facile fare considerazioni su l'ordine.
La via più semplice è confrontare la serie con la serie armonica 1 / n e constatare,quindi, che essa diverge.
Un altro modo semplice è considerare, (anche questo è stato già detto) il limite per n> oo della serie:c'è un teorema che se una serie converge il limite che tende a più infinito tende a 1.
Fai attenzione perchè tale teorema NON ci dice nulla se il limite fa 1 ma lo possiamo usare al contrario: se il lmite tendente a più infinito di una serie è diverso da uno NON converge!
E allora, dato che hai una serie a termini positivie in quanto tale può O convergere O divergere a più infinito (NON possono nè oscillare nè divergere a meno infinito) la tua serie diverge perchè il limite per n >>oo è diverso da 1.
Un altro modo semplice è considerare, (anche questo è stato già detto) il limite per n> oo della serie:c'è un teorema che se una serie converge il limite che tende a più infinito tende a 1.
Fai attenzione perchè tale teorema NON ci dice nulla se il limite fa 1 ma lo possiamo usare al contrario: se il lmite tendente a più infinito di una serie è diverso da uno NON converge!
E allora, dato che hai una serie a termini positivie in quanto tale può O convergere O divergere a più infinito (NON possono nè oscillare nè divergere a meno infinito) la tua serie diverge perchè il limite per n >>oo è diverso da 1.
non so se posso ma propongo un altro esempio per capire meglio 
nella serie $ sum_(n=1)^infty (2^n x^n)/(1+n^2)$ con $x in RR$ da studiare .... anche se il testo non specifica se al variare di n o di x; strano ,,, in questo caso bho , penso al variare del reale $x$ ;
si potrebbe vedere come una serie armonica $ sum (1)/(n)^p $ convergente per $p>1$ .... ??? anche se quì c'è una $x$ di troppo
e quindi concludere subito ??.....
perdonate la banalità degli esempi ma son ad inizio argomento
grazie mille siete di aiutissimo!!
nella serie $ sum_(n=1)^infty (2^n x^n)/(1+n^2)$ con $x in RR$ da studiare .... anche se il testo non specifica se al variare di n o di x; strano ,,, in questo caso bho , penso al variare del reale $x$ ;
si potrebbe vedere come una serie armonica $ sum (1)/(n)^p $ convergente per $p>1$ .... ??? anche se quì c'è una $x$ di troppo
e quindi concludere subito ??.....
perdonate la banalità degli esempi ma son ad inizio argomentograzie mille siete di aiutissimo!!
Bhe.. Mi sembra sia un'affermazione pericolosamente grossolana.. Lagrange non parla di un confronto generico ma del criterio del confronto asintotico (o criterio del quoziente, de gustibus) .
In più vorrei correggere una cosa:
Sia $sum_n s_n$, $sum_n s_n conv. => lim_n s_n = 0$
Prima di pensare al criterio da scegliere al variare di x, perchè non escludere qualche caso considerando il limite della successione associata?
Pppiesse: a variare è ovviamente il parametro x, dal momento che n è dichiarato nella sommatoria
.In più vorrei correggere una cosa:
Sia $sum_n s_n$, $sum_n s_n conv. => lim_n s_n = 0$
Prima di pensare al criterio da scegliere al variare di x, perchè non escludere qualche caso considerando il limite della successione associata?
Pppiesse: a variare è ovviamente il parametro x, dal momento che n è dichiarato nella sommatoria
"Lagrange10":
Un altro modo semplice è considerare, (anche questo è stato già detto) il limite per n> oo della serie:c'è un teorema che se una serie converge il limite che tende a più infinito tende a 1.
Fai attenzione perchè tale teorema NON ci dice nulla se il limite fa 1 ma lo possiamo usare al contrario: se il lmite tendente a più infinito di una serie è diverso da uno NON converge!
E allora, dato che hai una serie a termini positivie in quanto tale può O convergere O divergere a più infinito (NON possono nè oscillare nè divergere a meno infinito) la tua serie diverge perchè il limite per n >>oo è diverso da 1.
Scusa Lagrange, ma secondo me hai confuso un paio di cose (come già FrederichN ti ha fatto notare).
Se ti stai riferendo alla condizione necessaria per la convergenza di una serie: il limite , per [tex]$n \to \infty$[/tex] , del termine generale deve tendere a [tex]$0$[/tex] e non a [tex]$1$[/tex].
Se tale limite è diverso da [tex]$0$[/tex], puoi concludere sulla non convergenza della serie; se in particolare la serie è a termini positivi, allora [tex]$\text{non convergenza = divergenza (a } +\infty)$[/tex].
Poi, tanto per chiarire le idee a mat100, il criterio del confronto, dice questo:
Supponi di avere due serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}$[/tex] e [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} b_{n}$[/tex].
Sono due serie a termini positivi, tali che : [tex]$ \forall n \in N : 0 \le a_{n} \le b_{n}$[/tex]
Allora:
Se la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} b_{n}$[/tex] converge; anche la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}$[/tex] converge.
Se la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}$[/tex] diverge; anche la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} b_{n}$[/tex] diverge.
"FrederichN.":
Bhe.. Mi sembra sia un'affermazione pericolosamente grossolana.. Lagrange non parla di un confronto generico ma del criterio del confronto asintotico (o criterio del quoziente, de gustibus)
In più vorrei correggere una cosa:
Sia $sum_n s_n$, $sum_n s_n conv. => lim_n s_n = 0$
Prima di pensare al criterio da scegliere al variare di x, perchè non escludere qualche caso considerando il limite della successione associata?
Pppiesse: a variare è ovviamente il parametro x, dal momento che n è dichiarato nella sommatoria
mi aggancio a quanto detto da te...
il limite a cui pensare nel caso dell'esempio precedente dovrebbe essere $lim_(n to infty) (2^n x^n)/(1+n^2)$ ??
Esatto, al variare del parametro x! Ci sono diversi casi interessanti da notare..
"Mathcrazy":
[quote="Lagrange10"]
Un altro modo semplice è considerare, (anche questo è stato già detto) il limite per n> oo della serie:c'è un teorema che se una serie converge il limite che tende a più infinito tende a 1.
Fai attenzione perchè tale teorema NON ci dice nulla se il limite fa 1 ma lo possiamo usare al contrario: se il lmite tendente a più infinito di una serie è diverso da uno NON converge!
E allora, dato che hai una serie a termini positivie in quanto tale può O convergere O divergere a più infinito (NON possono nè oscillare nè divergere a meno infinito) la tua serie diverge perchè il limite per n >>oo è diverso da 1.
Scusa Lagrange, ma secondo me hai confuso un paio di cose (come già FrederichN ti ha fatto notare).
Se ti stai riferendo alla condizione necessaria per la convergenza di una serie: il limite , per [tex]$n \to \infty$[/tex] , del termine generale deve tendere a [tex]$0$[/tex] e non a [tex]$1$[/tex].
Se tale limite è diverso da [tex]$0$[/tex], puoi concludere sulla non convergenza della serie; se in particolare la serie è a termini positivi, allora [tex]$\text{non convergenza = divergenza (a } +\infty)$[/tex].
Poi, tanto per chiarire le idee a mat100, il criterio del confronto asintotico, dice questo:
Supponi di avere due serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}$[/tex] e [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} b_{n}$[/tex].
Sono due serie a termini positivi, tali che : [tex]$ \forall n \in N : 0 \le a_{n} \le b_{n}$[/tex]
Allora:
Se la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} b_{n}$[/tex] converge; anche la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}$[/tex] converge.
Se la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}$[/tex] diverge; anche la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} b_{n}$[/tex] diverge.[/quote]
io questo lo invoco come Criterio del Confronto
Come Criterio del Confronto Asintotico, invoco questo qui: (mi sembra di vedere il cartone animato yattaman XD)
Cioè se ho una funzione $b_n$ che diverge, dimostro che il limite del rapporto fra la mia funzione e questa $b_n$ sia pari ad un numero positivo; ciò mi permette di concludere che diverge. In questo caso ho usato come $b_n$ la funzione $1/n$
a parte le "note" teoriche...nella $ sum (2^n x^n)/(1+n^2)$ .... come potremmo svolgere?_ se si può potreste abbozzare una spiegazione o cmq dei passaggi risolutivi?
il limite della successione associata non rispetta la condizione di convergenza perchè "se non erro" quel limite per $n to infty$ non è $0$ !!!!
grazie dei chiarimenti
! 
Più tardi lo svolgo con calma e vediamo insieme passo per passo .
.
"FrederichN.":
Più tardi lo svolgo con calma e vediamo insieme passo per passo
non ti preoccupare Frederich, io vado avanti con il programma di esercizi svolti!
tuttavia aspettando un tuo abbozzo penso che qualche info riceverò,,,,thankx.
"mat100":
:D a parte le "note" teoriche...
nella $ sum (2^n x^n)/(1+n^2)$ .... come potremmo svolgere?_ se si può potreste abbozzare una spiegazione o cmq dei passaggi risolutivi?
il limite della successione associata non rispetta la condizione di convergenza perchè "se non erro" quel limite per $n to infty$ non è $0$ !!!!
grazie dei chiarimenti
Esatto. Scoperto questo, puoi passare al prossimo esercizio
"faximusy":
io questo lo invoco come Criterio del Confronto
Come Criterio del Confronto Asintotico, invoco questo qui: (mi sembra di vedere il cartone animato yattaman XD)
Cioè se ho una funzione $b_n$ che diverge, dimostro che il limite del rapporto fra la mia funzione e questa $b_n$ sia pari ad un numero positivo; ciò mi permette di concludere che diverge. In questo caso ho usato come $b_n$ la funzione $1/n$
Quello che ho citato io è il primo criterio del confronto.
Quello che dici tu è il secondo criterio del confronto (noto anche come confronto asintotico)
In genere, quando si parla di criterio del confronto, ci si riferisce al primo.
"Mathcrazy":
[quote="faximusy"]
io questo lo invoco come Criterio del Confronto
Come Criterio del Confronto Asintotico, invoco questo qui: (mi sembra di vedere il cartone animato yattaman XD)
Cioè se ho una funzione $b_n$ che diverge, dimostro che il limite del rapporto fra la mia funzione e questa $b_n$ sia pari ad un numero positivo; ciò mi permette di concludere che diverge. In questo caso ho usato come $b_n$ la funzione $1/n$
Quello che ho citato io è il primo criterio del confronto.
Quello che dici tu è il secondo criterio del confronto (noto anche come confronto asintotico)
In genere, quando si parla di criterio del confronto, ci si riferisce al primo.[/quote]
Si, infatti è la stessa notazione che seguo io
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