Usare il gradiente per il piano tangente

[Leira1]

Salve! Ho un problema che recita: sia $ f(x,y)= e^(x+2y) + x^2 $. Trova il piano tangente nel punto $ bar(x) = (1, 0, e+1) $


io so che la formula per trovare il piano tangente è \( P(x,y) = f(\bar{x} ) + < \bigtriangledown f(\bar{x} ) , x- \bar{x} > \)

quindi io ho prima fatto la \( \frac{\partial^{}f}{\partial x} \) = $ e^(x+2y) + 2x $ poi me la calcolo nel punto e viene \( \frac{\partial^{}f}{\partial x} \) $ (bar(x)) = e +2 $

poi ho fatto la \( \frac{\partial^{}f}{\partial y} \) = $ 2e^(x+2y) $ poi me la calcolo nel punto e viene \( \frac{\partial^{}f}{\partial y} \) $ (bar(x)) = 2e $

quindi \( \bigtriangledown f(\bar{x} ) = (e+2,2e) \)

mi sono fatta il prodotto scalare
\( < \bigtriangledown f(\bar{x} ) \) , $ (x- bar(x)) > $ = $ ex+2x-e-2+2ey $

quindi tutto il piano mi verrebbe $ P(x,y) = e+1+ex+2x-e-2+ey = ex+2x-1+ey $
Se qualcuno potesse dirmi se è giusto e se va aggiustato qualcosa ( anche a livello formale) gli sarei grato!
Buona giornata

[dissonance]

E' giusto, l'unica obiezione che ho è il tuo uso di \(\overline x\). Come l'hai scritto, \(\overline x\) inizia con l'essere un punto di \(\mathbb R^3\) e poi, quando introduci la formula per il piano tangente, diventa un punto di \(\mathbb R^2\).

[Leira1]

hai ragionassima! ti ringrazio molto