Usare gli zeri della derivata prima per studiare la seconda?

[ReggaetonDj]

Ciao a tutti, ma è possibile usare le condizioni di azzeramento della derivata prima per studiare il segno della seconda?

Mi spiego meglio ho visto una cosa del genere su alcune derivate di una funzione rispetto ad [tex]$x$[/tex], sapendo che [tex]$G'(x) = -k(x)$[/tex]:

[tex]$y' = G(x) - a\,k(x)$[/tex] ($a$ è una costante)

[tex]$y' = 0$[/tex] quando [tex]$\frac{1}{a} = \frac{k(x)}{G(x)}$[/tex]

[tex]$y'' = -k(x) - a\,k'(x)$[/tex]

[tex]$y'' = -\Biggl( \frac{1}{a} + \frac{p'(x)}{p(x)}\Biggr) = \Biggl(\frac{k(x)}{G(x)}+ \frac{p'(x)}{p(x)}\Biggr) $[/tex] e poi vengono fatte delle considerazioni sul segno di $y''$

ecco a me non torna quest'ultimo passaggio. E' lecito utilizzare in $y''$ la relazione [tex]$\frac{1}{a} = \frac{k(x)}{G(x)}$[/tex]?
Alla fine è vera solo quando [tex]$y' = 0$[/tex], non in assoluto...

[ReggaetonDj]

...che sia forse un modo per studiare la natura del punto stazionario (se si tratta di un max o di un minimo) di [tex]$y$[/tex], alla fine [tex]$\frac{1}{a} = \frac{k(x)}{G(x)}$[/tex] è valido solo nell'intorno dello zero della derivata prima...