Usare funzioni generatrici x stabilire {an} data ricorsivame
Ciao a tutti..sono una nuova iscritta e sono abbastanza disperata..settimana prossima ho un esame di analisi matematica e non so proprio come si facciano gli esercizi riguardanti le ricorsioni. vi posto un esercizio tipo per vedere se qualcuno sa come si svolgono..
"usano le funzioni generatrici, risolvere l'equazione di ricorrenza
$\{(a_(n+2) = a_n + 4), (a_0 = 1), (a_1 = 3):}$ con n>= 0
e precisare il comportamento asintotico della soluzione"
attendo notizie..grazie!!!
"usano le funzioni generatrici, risolvere l'equazione di ricorrenza
$\{(a_(n+2) = a_n + 4), (a_0 = 1), (a_1 = 3):}$ con n>= 0
e precisare il comportamento asintotico della soluzione"
attendo notizie..grazie!!!
Risposte
nessuno ha nemmeno una vaga idea di come si svolga sta roba???
Tu hai almeno letto questo avviso? Ed il regolamento (cfr. sezione 1)?
Prima ti adegui alla netiquette del forum, meglio è...
Tanto per iniziare una discussione seria, sai cosa sono le funzioni generatrici? Hai provato a scrivere quella della tua successione? Quali passaggi hai fatto? Dove ti sei fermato/a?
Prima ti adegui alla netiquette del forum, meglio è...
Tanto per iniziare una discussione seria, sai cosa sono le funzioni generatrici? Hai provato a scrivere quella della tua successione? Quali passaggi hai fatto? Dove ti sei fermato/a?
sorry..non avevo letto visto che ero disperata perchè non sapevo come continuare l'esercizio!!
per quanto riguarda la nozione di funzione generatrice non è altro che f(x) = $\sum_{n=0}^infty a_n*x^n$
nel mio caso ${a_n}$ = $a_(n+2)$ - 4
quindi ho:
$\sum_{n=0}^infty a_n*x^n$ = $\sum_{n=0}^infty (a_(n+2)-4)*x^n$
visto che sono già noti $a_0$ e $a_1$ so che:
1 + $3*x$ + $\sum_{n=2}^infty a_(n+2)-4*x^n$ = 1 + $3*x$ + $\sum_{n=2}^infty a_n+2*x^n$ $ -4*$$\sum_{n=2}^infty *x^n$
posto n+2 = p ottengo
1 + $3*x$ + $\sum_{p=0}^infty a_p*x^(p-2)$ $-4*$$\sum_{p=0}^infty *x^(p-2)$
mi riporto la n quindi ho:
1 + $3*x$ + $\sum_{n=0}^infty a_n*x^(n-2)$ -4$\sum_{n=0}^infty *x^(n-2)$
ora come posso continuare lo svolgimento?
per quanto riguarda la nozione di funzione generatrice non è altro che f(x) = $\sum_{n=0}^infty a_n*x^n$
nel mio caso ${a_n}$ = $a_(n+2)$ - 4
quindi ho:
$\sum_{n=0}^infty a_n*x^n$ = $\sum_{n=0}^infty (a_(n+2)-4)*x^n$
visto che sono già noti $a_0$ e $a_1$ so che:
1 + $3*x$ + $\sum_{n=2}^infty a_(n+2)-4*x^n$ = 1 + $3*x$ + $\sum_{n=2}^infty a_n+2*x^n$ $ -4*$$\sum_{n=2}^infty *x^n$
posto n+2 = p ottengo
1 + $3*x$ + $\sum_{p=0}^infty a_p*x^(p-2)$ $-4*$$\sum_{p=0}^infty *x^(p-2)$
mi riporto la n quindi ho:
1 + $3*x$ + $\sum_{n=0}^infty a_n*x^(n-2)$ -4$\sum_{n=0}^infty *x^(n-2)$
ora come posso continuare lo svolgimento?
Ok, finalmente si può ragionare! 
Io avrei provato a fare così*: innanzitutto avrei notato che la funzione generatrice di [tex]$a_{n+2}$[/tex] si può scrivere in termini di quella di [tex]$a_n$[/tex]: infatti, posto [tex]$f(x):=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ x^n$[/tex], si ha:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}\ x^n=\frac{1}{x^2}\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}\ x^{n+2} $[/tex]
[tex]$=\frac{1}{x^2}\sum_{m=2}^{+\infty}a_m\ x^m$[/tex] (aggiungendo e sottraendo [tex]$a_0+a_1\ x$[/tex] alla sommatoria)
[tex]$=\frac{1}{x^2}\sum_{m=0}^{+\infty} a_m\ x^m -\frac{a_0}{x^2}-\frac{a_1}{x}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{x^2}\ f(x)-\frac{a_0}{x^2}-\frac{a_1}{x}$[/tex];
poi avrei scritto:
(*) [tex]$a_{n+2}-a_n=4$[/tex]
e sarei passato alle funzioni generatrici in ambo i membri di (*); tenendo presente che il passaggio alla funzione generatrice è un operatore lineare (tra lo spazio delle successioni trasformabili e quello delle funzioni analitiche in [tex]$0$[/tex]), avrei ottenuto:
[tex]$\left(\frac{1}{x^2}\ f(x)-\frac{a_0}{x^2}-\frac{a_1}{x} \right) -f(x)=\frac{4}{1-x}$[/tex]**
e di qui avrei ricavato [tex]$f(x)$[/tex]; l'espressione di [tex]$(a_n)$[/tex] in forma chiusa l'avrei ottenuta antitrasformando la [tex]$f(x)$[/tex] così ricavata.
Se vuoi procedere così, probabilmente ti converrà spezzare in fratti semplici l'espressione di [tex]$f(x)$[/tex].
Prova a fare due conti.
__________
* Questo è lo stesso procedimento che gli ingegneri usano con la trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex]. Diciamo che la funzione generatrice e la trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex] sono "più o meno" la stessa cosa; l'una si ottiene dall'altra con un'inversione della sfera di Riemann (ciò ti può essere utile solo se hai studiato qualcosa di Analisi Complessa, altrimenti lascia stare).
** Il secondo membro della (*) è la successione con tutti i termini uguali a [tex]$4$[/tex], perciò la sua funzione generatrice è [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} 4\ x^n=\frac{4}{1-x}$[/tex] (quattro volte la somma della serie geometrica di ragione [tex]$x$[/tex]).
Io avrei provato a fare così*: innanzitutto avrei notato che la funzione generatrice di [tex]$a_{n+2}$[/tex] si può scrivere in termini di quella di [tex]$a_n$[/tex]: infatti, posto [tex]$f(x):=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ x^n$[/tex], si ha:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}\ x^n=\frac{1}{x^2}\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}\ x^{n+2} $[/tex]
[tex]$=\frac{1}{x^2}\sum_{m=2}^{+\infty}a_m\ x^m$[/tex] (aggiungendo e sottraendo [tex]$a_0+a_1\ x$[/tex] alla sommatoria)
[tex]$=\frac{1}{x^2}\sum_{m=0}^{+\infty} a_m\ x^m -\frac{a_0}{x^2}-\frac{a_1}{x}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{x^2}\ f(x)-\frac{a_0}{x^2}-\frac{a_1}{x}$[/tex];
poi avrei scritto:
(*) [tex]$a_{n+2}-a_n=4$[/tex]
e sarei passato alle funzioni generatrici in ambo i membri di (*); tenendo presente che il passaggio alla funzione generatrice è un operatore lineare (tra lo spazio delle successioni trasformabili e quello delle funzioni analitiche in [tex]$0$[/tex]), avrei ottenuto:
[tex]$\left(\frac{1}{x^2}\ f(x)-\frac{a_0}{x^2}-\frac{a_1}{x} \right) -f(x)=\frac{4}{1-x}$[/tex]**
e di qui avrei ricavato [tex]$f(x)$[/tex]; l'espressione di [tex]$(a_n)$[/tex] in forma chiusa l'avrei ottenuta antitrasformando la [tex]$f(x)$[/tex] così ricavata.
Se vuoi procedere così, probabilmente ti converrà spezzare in fratti semplici l'espressione di [tex]$f(x)$[/tex].
Prova a fare due conti.
__________
* Questo è lo stesso procedimento che gli ingegneri usano con la trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex]. Diciamo che la funzione generatrice e la trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex] sono "più o meno" la stessa cosa; l'una si ottiene dall'altra con un'inversione della sfera di Riemann (ciò ti può essere utile solo se hai studiato qualcosa di Analisi Complessa, altrimenti lascia stare
).** Il secondo membro della (*) è la successione con tutti i termini uguali a [tex]$4$[/tex], perciò la sua funzione generatrice è [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} 4\ x^n=\frac{4}{1-x}$[/tex] (quattro volte la somma della serie geometrica di ragione [tex]$x$[/tex]).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo