Usando il metodo delle funzioni generatrici, risolvere l'equazione di ricorrenza:
Usando il metodo delle funzioni generatrici, risolvere l'equazione di ricorrenza e stabilire il comportamento asintotico della soluzione:
Ciao ragazzi avrei bisogno del vostro aiuto per questo problema!
$ { ( a_n =-2a_(n-1)+3a_(n-2) \ \ \ \ (n>= 2)),( a_0=0 \ \ \ \ a_1=1 ):} $
Ciao ragazzi avrei bisogno del vostro aiuto per questo problema!
$ { ( a_n =-2a_(n-1)+3a_(n-2) \ \ \ \ (n>= 2)),( a_0=0 \ \ \ \ a_1=1 ):} $
Risposte
Se definiamo la serie di potenze \(u = \sum_{n \geq 0} a_nx^n\), otteniamo
\[x \, u = \sum_{n \geq 0} a_{n-1}x^n \qquad \qquad x^2 u = \sum_{n \geq 0} a_{n-2}x^n\]
dove \(a_{-2} = a_{-1} = 0\).
Utilizzando la relazione di ricorrenza \(a_n = -2a_{n-1} + 3a_{n-2}\) e le condizioni iniziali \(a_0 = 0, \, a_1 = 1\), ricaviamo la seguente equazione tra serie di potenze
\[u = -2\,xu + 3\,x^2u + x \qquad \qquad (\ast)\]
ovvero
\[u \sim \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2\\ \vdots \end{pmatrix} = -2 \, \begin{pmatrix} 0 \\ a_0 \\ a_1 \\ \vdots \end{pmatrix} + 3 \, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a_0 \\ \vdots \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix} \sim -2\,xu + 3\,x^2u + x\]
Dalla \((\ast)\) ricaviamo
\[u = \frac{x}{2x - 3x^2 + 1} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+3x}\right)\]
A questo punto, ricordando che la somma di una serie geometrica è data da
\[
\sum_{n \geq 0} y^n = \frac{1}{1-y}
\]
possiamo scrivere
\[
u = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{4} \left( x^n - (-3x)^n \right) = \sum_{n \geq 0} \frac{1 + (-1)^{n+1}3^n}{4} x^n
\]
Infine, poiché per costruzione \(u = \sum_{n \geq 0} a_nx^n\), abbiamo
\[
a_n = \frac{1 + (-1)^{n+1}3^n}{4}
\]
\[x \, u = \sum_{n \geq 0} a_{n-1}x^n \qquad \qquad x^2 u = \sum_{n \geq 0} a_{n-2}x^n\]
dove \(a_{-2} = a_{-1} = 0\).
Utilizzando la relazione di ricorrenza \(a_n = -2a_{n-1} + 3a_{n-2}\) e le condizioni iniziali \(a_0 = 0, \, a_1 = 1\), ricaviamo la seguente equazione tra serie di potenze
\[u = -2\,xu + 3\,x^2u + x \qquad \qquad (\ast)\]
ovvero
\[u \sim \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2\\ \vdots \end{pmatrix} = -2 \, \begin{pmatrix} 0 \\ a_0 \\ a_1 \\ \vdots \end{pmatrix} + 3 \, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a_0 \\ \vdots \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix} \sim -2\,xu + 3\,x^2u + x\]
Dalla \((\ast)\) ricaviamo
\[u = \frac{x}{2x - 3x^2 + 1} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+3x}\right)\]
A questo punto, ricordando che la somma di una serie geometrica è data da
\[
\sum_{n \geq 0} y^n = \frac{1}{1-y}
\]
possiamo scrivere
\[
u = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{4} \left( x^n - (-3x)^n \right) = \sum_{n \geq 0} \frac{1 + (-1)^{n+1}3^n}{4} x^n
\]
Infine, poiché per costruzione \(u = \sum_{n \geq 0} a_nx^n\), abbiamo
\[
a_n = \frac{1 + (-1)^{n+1}3^n}{4}
\]
UUUfff bel lavoro elvis!!!
Immagino che questo esercizio sia fatto ad hoc per esercitarsi sul metodo della funzione generatrice. Senza questa prescrizione c'era un metodo più semplice: è una equazione lineare omogenea e a coefficienti costanti, quindi basta trovare le radici del polinomio caratteristico $P(x)=x^2+2x-3$, ovvero $1, -3$ e ottenere la soluzione generale:
$a_n=C_1 + C_2(-1)^n3^n.$
Imponendo le condizioni iniziali si trova $C_1=1/4, C_2=-1/4$ il che porta alla stessa soluzione che hai trovato tu.
Sono tutte cose che immagino sappiate benissimo ma le scrivo ugualmente, sia per esercitarmi io, sia nella speranza che siano utili a qualche passante.
Immagino che questo esercizio sia fatto ad hoc per esercitarsi sul metodo della funzione generatrice. Senza questa prescrizione c'era un metodo più semplice: è una equazione lineare omogenea e a coefficienti costanti, quindi basta trovare le radici del polinomio caratteristico $P(x)=x^2+2x-3$, ovvero $1, -3$ e ottenere la soluzione generale:
$a_n=C_1 + C_2(-1)^n3^n.$
Imponendo le condizioni iniziali si trova $C_1=1/4, C_2=-1/4$ il che porta alla stessa soluzione che hai trovato tu.
Sono tutte cose che immagino sappiate benissimo ma le scrivo ugualmente, sia per esercitarmi io, sia nella speranza che siano utili a qualche passante.
Grazie davvero ad entrambi! 
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