[URGE]Un lapsus sulla forma esatta
Considerando una forma differenziale $w=a(x,y)dx+b(x,y)dy$ definita in un insieme non connesso
se le derivate ad incocio sono =, cioè se $(da)/dy =(db)/dx$ la forma è chiusa. Per vedere se è esatta basta risolvere l'integrale curvilineo della forma differenziale. Se l'integrale è =0 cosa succede? la forma è esatta o meno?
Considerando una forma differenziale $w=a(x,y)dx+b(x,y)dy$ definita in un insieme connesso
Se $(da)/dy =(db)/dx$ allora la forma è subito esatta, giusto?
se le derivate ad incocio sono =, cioè se $(da)/dy =(db)/dx$ la forma è chiusa. Per vedere se è esatta basta risolvere l'integrale curvilineo della forma differenziale. Se l'integrale è =0 cosa succede? la forma è esatta o meno?
Considerando una forma differenziale $w=a(x,y)dx+b(x,y)dy$ definita in un insieme connesso
Se $(da)/dy =(db)/dx$ allora la forma è subito esatta, giusto?
Risposte
Per la seconda devi richiedere che il dominio sia semplicemente connesso la connessione da sola non basta....
Per la prima, se il dominio non e' connesso al massimo la forma differenziale puo' essere esatta sui sottoinsiemi connessi (sempre che esistano) nel caso che siano semplicemente connessi oppure se facendo gli integrali curvilinei su tutti i possibili cammini chiusi si ha sempre come valore 0. (in realta' siccome il valore dell'integrale su cammini $\Omega$-omotopi (dove $\Omega$ e' il sottoinsieme connesso in esame) e' uguale basta di solito scegliere un'unica curva chiusa)
Per la prima, se il dominio non e' connesso al massimo la forma differenziale puo' essere esatta sui sottoinsiemi connessi (sempre che esistano) nel caso che siano semplicemente connessi oppure se facendo gli integrali curvilinei su tutti i possibili cammini chiusi si ha sempre come valore 0. (in realta' siccome il valore dell'integrale su cammini $\Omega$-omotopi (dove $\Omega$ e' il sottoinsieme connesso in esame) e' uguale basta di solito scegliere un'unica curva chiusa)
per il primo rigo mi trovo al 100%, è stata una mia dmenticanza.
per la seconda non ho capito quasi nulla
per la seconda non ho capito quasi nulla
Scusa forse sono stato un po' "sbrigativo".
Allora se il problema e':
La forma differenziale e' chiusa, ma il dominio che e' connesso, non e' semplicemente connesso.
Allora devi fare 1 integrale su un cammino chiuso e controllare che sia zero. Se esso e' zero, allora sara' nullo l'integrale su tutti i cammini chiusi ottenibili deformando il cammino di partenza e senza uscire dal dominio.
Nel caso di un dominio privato di un punto, ad esempio, se il cammino chiuso sulla circonferenza che gira intorno al punto e' nullo allora saranno nulli gli integrali su tutti i cammini chiusi che racchiudano un insieme che contiene il punto. Per i cammini che non girano intorno al punto non c'e' da dimostrare nulla visto che si trovano in regioni semplicemente connesse. Quindi per controllare che la forma differenziale sia esatta bastera fare un integrale curvilineo su una curva chiusa che giri intorno al punto "proibito".
E' piu' chiaro ora?
Altrimenti chiedi pure, lo so' che non sono bravo per nulla a spiegare!
Allora se il problema e':
La forma differenziale e' chiusa, ma il dominio che e' connesso, non e' semplicemente connesso.
Allora devi fare 1 integrale su un cammino chiuso e controllare che sia zero. Se esso e' zero, allora sara' nullo l'integrale su tutti i cammini chiusi ottenibili deformando il cammino di partenza e senza uscire dal dominio.
Nel caso di un dominio privato di un punto, ad esempio, se il cammino chiuso sulla circonferenza che gira intorno al punto e' nullo allora saranno nulli gli integrali su tutti i cammini chiusi che racchiudano un insieme che contiene il punto. Per i cammini che non girano intorno al punto non c'e' da dimostrare nulla visto che si trovano in regioni semplicemente connesse. Quindi per controllare che la forma differenziale sia esatta bastera fare un integrale curvilineo su una curva chiusa che giri intorno al punto "proibito".
E' piu' chiaro ora?
Altrimenti chiedi pure, lo so' che non sono bravo per nulla a spiegare!
"david_e":
Quindi per controllare che la forma differenziale sia esatta bastera fare un integrale curvilineo su una curva chiusa che giri intorno al punto "proibito".
ok ci siamo, ma in questo caso se l'integrale è =0 cosa succede?la forma è esatta o no?
Si.
Nel caso di domini con piu' "buchi" bisogna fare un integrale per ciascun buco... se vengono tutti zero allora la forma e' esatta.
Nel caso di domini con piu' "buchi" bisogna fare un integrale per ciascun buco... se vengono tutti zero allora la forma e' esatta.
quindi ricapitolando il caso in cui ho una finzione definita in tutto R tranne 1 punto.
1)Se le derivate incrociate sono =, e l'integrale curvilineo è =0, la forma è esatta. giusto?
2)mentre se vale tutto quello della 1), ma l'integrale è diverso da zero, allora la forma non è esatta.giusto?
1)Se le derivate incrociate sono =, e l'integrale curvilineo è =0, la forma è esatta. giusto?
2)mentre se vale tutto quello della 1), ma l'integrale è diverso da zero, allora la forma non è esatta.giusto?
Tutto giusto. La curva pero' deve delimitare una porzione di R^2 che contenga il punto escluso dal dominio.
altra cosa:
sempre nell' ipotesi che la funzione è definita in R-un punto, con le derivate diverse ad incrocio: che succede?
è immediatamente esatta?
sempre nell' ipotesi che la funzione è definita in R-un punto, con le derivate diverse ad incrocio: che succede?
è immediatamente esatta?
No se la forma differenziale non e' chiusa non puo' essere esatta. Questo indipendentemente dal dominio.
si giusto giusto giustissimo, no mi stavo creando tutte le varie possibilità in mente. Ok grazie ciao e goodnight.
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