Urgente:studio serie numerica con parametro
salve ragazzi, sto studiando per l'esame di analisi 1,ma non ho ben capito come si studia una serie, quindi mi servirebbe una mano (con spiegazione passo per passo se possibile) a risolvere quest'esercizio:
studiare, al variare del parametro reale k, la serie
[size=150]$\sum_{n=1}^\infty\frac {2^\frac{1}{n^2}-1}{n^k}$[/size]
grazie in aticipo.
studiare, al variare del parametro reale k, la serie
[size=150]$\sum_{n=1}^\infty\frac {2^\frac{1}{n^2}-1}{n^k}$[/size]
grazie in aticipo.
Risposte
Sappiamo che
\[ 2^t -1 \sim t \cdot \ln 2, \ t \to 0 \]
Quindi, visto che [tex]\frac{1}{n^2} \to 0, \ per \ \ n \to + \infty[/tex], possiamo sfruttare questo confronto fra infinitesimi per studiare la serie. In particolare, intuiamo che la serie è asintotica alla serie
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{k -2}} \ \ \clubsuit \]
e infatti
\[ \lim_{ n \to + \infty} {\frac{\frac{2^{\frac{1}{n^2}} -1}{n^k}}{n^{k-2}}} = \ln 2 \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]
Quindi risulta che per il criterio del confronto asintotico le due serie hanno lo stesso comportamento. La serie [tex]\clubsuit[/tex] è nient'altro che la serie armonica generalizzata, che converge $\iff k -2 > 1 \implies k > 3$. Quindi anche la serie di partenza converge $\iff k > 3$.
\[ 2^t -1 \sim t \cdot \ln 2, \ t \to 0 \]
Quindi, visto che [tex]\frac{1}{n^2} \to 0, \ per \ \ n \to + \infty[/tex], possiamo sfruttare questo confronto fra infinitesimi per studiare la serie. In particolare, intuiamo che la serie è asintotica alla serie
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{k -2}} \ \ \clubsuit \]
e infatti
\[ \lim_{ n \to + \infty} {\frac{\frac{2^{\frac{1}{n^2}} -1}{n^k}}{n^{k-2}}} = \ln 2 \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]
Quindi risulta che per il criterio del confronto asintotico le due serie hanno lo stesso comportamento. La serie [tex]\clubsuit[/tex] è nient'altro che la serie armonica generalizzata, che converge $\iff k -2 > 1 \implies k > 3$. Quindi anche la serie di partenza converge $\iff k > 3$.
ti ringrazio per la risposta rapida e precisa, c'è però un problema nel programma il professore non accenna minimamente al criterio del confronto asintotico ne tanto meno abbiamo fatto esercitazioni usando tale criterio, quindi mi chiedevo se fosse possibile risolverla con un altro criterio.
Ti allego una foto del programma svolto sulle serie numeriche, grazie ancora.
ps. mi sono accorto di un errore nel testo della serie da sudiare in quanto è
$\sum_{n=1}^\infty\frac {2^(\sin\(frac{1}{n^2}))-1}{n^k}$ e non $\sum_{n=1}^\infty\frac {2^\frac{1}{n^2}-1}{n^k}$
Ti allego una foto del programma svolto sulle serie numeriche, grazie ancora.
ps. mi sono accorto di un errore nel testo della serie da sudiare in quanto è
$\sum_{n=1}^\infty\frac {2^(\sin\(frac{1}{n^2}))-1}{n^k}$ e non $\sum_{n=1}^\infty\frac {2^\frac{1}{n^2}-1}{n^k}$
Mi sembra assurdo studiare una serie senza avere a disposizione il criterio del confronto asintotico. Comunque, si può risolvere anche con il criterio di condensazione di Cauchy, che si trova nel programma:
La serie
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{n^2} \right )}- 1}{n^k} \]
è a termini positivi e non crescente (verificalo!), quindi possiamo affermare che converge $\iff$ converge la serie
\[ \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{2^{n^{2}}} \right )} - 1}{2^{n (k - 1)}} \]
Utilizzando il criterio della radice, otteniamo che
\[ \lim_{n \to + \infty} {\sqrt [n] {\frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{2^{n^{2}}} \right )}- 1}{2^{n (k - 1)}}}} = 2^{ 3 - k} \]
Da cui
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{n^2} \right )}- 1}{n^k} \begin{cases} converge \ se \ 2^{3 - k} < 1 \implies k > 3 \\ diverge \ se \ 2^{3 - k} > 1 \implies k < 3 \end{cases} \]
Resta da studiare solo il caso in cui $k = 3$, perchè il criterio della radice non dice nulla se il risultato è $1$. Studiandolo a parte:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{n^2} \right )} - 1}{n^3} \]
In questo caso, l'unico modo che mi viene in mente al momento è il confronto asintotico con la serie armonica. Se mi viene in mente un altro modo lo posto, altrimenti non saprei che dirti
La serie
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{n^2} \right )}- 1}{n^k} \]
è a termini positivi e non crescente (verificalo!), quindi possiamo affermare che converge $\iff$ converge la serie
\[ \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{2^{n^{2}}} \right )} - 1}{2^{n (k - 1)}} \]
Utilizzando il criterio della radice, otteniamo che
\[ \lim_{n \to + \infty} {\sqrt [n] {\frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{2^{n^{2}}} \right )}- 1}{2^{n (k - 1)}}}} = 2^{ 3 - k} \]
Da cui
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{n^2} \right )}- 1}{n^k} \begin{cases} converge \ se \ 2^{3 - k} < 1 \implies k > 3 \\ diverge \ se \ 2^{3 - k} > 1 \implies k < 3 \end{cases} \]
Resta da studiare solo il caso in cui $k = 3$, perchè il criterio della radice non dice nulla se il risultato è $1$. Studiandolo a parte:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{ 2^{\sin \left ( \frac {1}{n^2} \right )} - 1}{n^3} \]
In questo caso, l'unico modo che mi viene in mente al momento è il confronto asintotico con la serie armonica. Se mi viene in mente un altro modo lo posto, altrimenti non saprei che dirti
In realtà il criterio del confronto asintotico è un corollario del criterio del confronto e magari il tuo professore lo ha incluso nei "corollari" dopo il criterio del confronto.
"cooper":
In realtà il criterio del confronto asintotico è un corollario del criterio del confronto e magari il tuo professore lo ha incluso nei "corollari" dopo il criterio del confronto.
L'ho pensato anch'io, ma giox07 dice di non averlo mai utilizzato nemmeno nelle esercitazioni...
in effetti.. o magari non lo hanno solo esplicitato ma l'hanno usato. Anche perchè è difficile non utilizzarlo per niente.
o magari non lo hanno solo esplicitato ma l'hanno usato. Anche perchè è difficile non utilizzarlo per niente.
Non so che dirvi ragazzi ho letto tutti i corollari al criterio del confronto e non ho visto il confronto asintotico...magari guardo meglio ma sono sicuro al 99.9999% che non ci sia fra i corollari spiegati.
Comunque io in caso una ricerca su internet per vedere come funziona il criterio del confronto asintotico la faccio, imparo a usarlo e se il professore mi dice di poterlo usare allora no problem
Comunque io in caso una ricerca su internet per vedere come funziona il criterio del confronto asintotico la faccio, imparo a usarlo e se il professore mi dice di poterlo usare allora no problem
"giox07":
Non so che dirvi ragazzi ho letto tutti i corollari al criterio del confronto e non ho visto il confronto asintotico...magari guardo meglio ma sono sicuro al 99.9999% che non ci sia fra i corollari spiegati.
Comunque io in caso una ricerca su internet per vedere come funziona il criterio del confronto asintotico la faccio, imparo a usarlo e se il professore mi dice di poterlo usare allora no problem
Ti conviene imparare ad usarlo, indipentemente dall'opinione del tuo professore al riguardo; è fondamentale nello studio delle serie a termini positivi, e la dimostrazione non è neanche chissà quale artificio matematico. Nel programma c'è il criterio di Raab, che è relativamente "inutile" in quasi tutte le serie a termini positivi, perchè difficilmente falliscono contemporaneamente il criterio della radice (e del rapporto), il criterio del confronto, il criterio del confronto asintotico e il criterio di condensazione di Cauchy. Ritengo sia una follia didattica preferirlo al criterio del confronto asintotico. Comunque, non giudico le scelte degli altri. Il mio consiglio è di imparare ad utilizzarlo, ed anche alla svelta
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