Urgente sintesi su integrabilità
Salve a tutti. Parallelamente a questo post ne ho pubblicato uno simile circa lo studio di una funzione integrale, ma per ragioni di ordine nel forum li ho separati in quanto argomenti lievemente diversi. Dunque: il mio ULTIMO dubbio riguarda lo studio dell'integrabilità in senso improprio e/o generalizzato di una generica funzione $f(x)=1/x^\alpha$; nel caso specifico, adesso mi trovo dinanzi $f(x)=1/(x^\alphasqrt(logx))$. Il testo mi chiede di studiarla in senso improprio e generalizzato in $[1, +infty[$ al variare di $\alpha>0$. Io procederei come segue:
1. studio il dominio di $f(x)$, ovvero $1/(x^\alphasqrt(logx))!=0$ (anche se in questo caso credo di poterla porre $>0$ in quanto stiamo considerando un intervallo di integrazione strettamente positivo);
2. una volta trovati gli zeri della funzione, ovvero $x_1$ e $x_2$ (che considererò genericamente come $c$), studio l'integrabilità in senso generalizzato in tali punti per verificare se si riscontrano problemi. Pertanto, affinché la condizione necessaria di integrabilità in senso generalizzato venga soddisfatta, deve risultare $\lim_{x \to \c}f(x)=+-infty$. Una volta verificata, procedo col confronto per integrali generalizzati, dunque da $\lim_{x \to \c}|f(x)||x-c|^\alpha=l$ segue:
1. se $0=1$;
2. se $l=0$, $|f(x)|$ è sommabile per $\alpha<1$ e non integrabile per $\alpha>=1$;
3. se $l=+infty$, $|f(x)|$ è integrabile ma non sommabile per $\alpha>=1$ e non integrabile per $\alpha<1$.
In modo simile la si studia in senso improprio, ma mi è sufficiente comprendere quella summenzionata. Spero con tutto il cuore che il mio procedimento sia corretto. Attendo la sentenza!
1. studio il dominio di $f(x)$, ovvero $1/(x^\alphasqrt(logx))!=0$ (anche se in questo caso credo di poterla porre $>0$ in quanto stiamo considerando un intervallo di integrazione strettamente positivo);
2. una volta trovati gli zeri della funzione, ovvero $x_1$ e $x_2$ (che considererò genericamente come $c$), studio l'integrabilità in senso generalizzato in tali punti per verificare se si riscontrano problemi. Pertanto, affinché la condizione necessaria di integrabilità in senso generalizzato venga soddisfatta, deve risultare $\lim_{x \to \c}f(x)=+-infty$. Una volta verificata, procedo col confronto per integrali generalizzati, dunque da $\lim_{x \to \c}|f(x)||x-c|^\alpha=l$ segue:
1. se $0
2. se $l=0$, $|f(x)|$ è sommabile per $\alpha<1$ e non integrabile per $\alpha>=1$;
3. se $l=+infty$, $|f(x)|$ è integrabile ma non sommabile per $\alpha>=1$ e non integrabile per $\alpha<1$.
In modo simile la si studia in senso improprio, ma mi è sufficiente comprendere quella summenzionata. Spero con tutto il cuore che il mio procedimento sia corretto. Attendo la sentenza!
Risposte
MI SA CHE SIAMO ALLE PRESE CON LO STESSO PROBLEMA... MI DARESTI UNA MANO A RISOLVERE GLI INTEGRALI IMPROPRI E NON CHE HO POSTATO.. HO L'ESAME TRA QUALCHE GIORNO E SONO IN CRISI..
COMUNQUE NEL TUO CASO LO ZERO DELLA FUNZIONE è SOLO 1 , L'ALTRO INFATTI NON APPARTIENE ALL'INTERVALLO PER CUI STAI STUDIANDO LA CONVERGENZA ( CIOè IO SINO AD ORA HO RAGIONATO COSì , MA NON FIDARTI TROPPO..).
DUNQUE: IL PUNTO DI SINGOLARITà è X=1 , QUINDI STUDI LA CONVERGENZA PER X CHE TENDE A 1 E PER X CHE TENDE A INFINITO.A ME RISULTA CHE L'INTEGRALE CONVERGE SOLO SE ALFA>1 STRETTAMENTE.
NON MI SENTO PERò DI DIRTI CHE è GIUSTO PERCHè IO STESSA SONO IN DUBBIO.. PROVI A DARMI UN CONSIGLIO ANCHE TU PLEASE?
COMUNQUE NEL TUO CASO LO ZERO DELLA FUNZIONE è SOLO 1 , L'ALTRO INFATTI NON APPARTIENE ALL'INTERVALLO PER CUI STAI STUDIANDO LA CONVERGENZA ( CIOè IO SINO AD ORA HO RAGIONATO COSì , MA NON FIDARTI TROPPO..).
DUNQUE: IL PUNTO DI SINGOLARITà è X=1 , QUINDI STUDI LA CONVERGENZA PER X CHE TENDE A 1 E PER X CHE TENDE A INFINITO.A ME RISULTA CHE L'INTEGRALE CONVERGE SOLO SE ALFA>1 STRETTAMENTE.
NON MI SENTO PERò DI DIRTI CHE è GIUSTO PERCHè IO STESSA SONO IN DUBBIO.. PROVI A DARMI UN CONSIGLIO ANCHE TU PLEASE?
fragolandia : ti invito a scrivere in minuscolo ; in maiuscolo equivale a urlare.
Grazie
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo